கதை வழி கணிதம்-15: யாருக்கு குளம் சொந்தம்?

இரா.செங்கோதை

அன்று ஆசிரியர் விகிதமுறு எண்களை பற்றி மாணவர்களுக்கு பாடம் கற்பித்து கொண்டிருந்தார். மாணவர்கள் கொஞ்சம் சோர்வாக காணப்பட்டனர். இதை கண்ட ஆசிரியர் மாணவர்களை உற்சாகப்படுத்த எண்ணினார். “நான் உங்களுக்கு ஒரு கதை கூற போகிறேன்” என்று மாணவர்களிடம் கூறினார். ஒரு நாள் 1/2 மற்றும் 1/3 என்ற இரு விகிதமுறு எண்கள் குளத்தில் குளிக்கச் சென்றன.

அந்த குளத்தில் இருந்த மீன்கள் இரண்டு விகிதமுறு எண்களை பார்த்து கேலி செய்தன. நீங்கள் இருவர் மட்டும்தான். ஆனால், குளத்தில் இருக்கும் மீன்களாகிய எங்களது எண்ணிக்கை ஏராளம். எனவே இந்த குளம் எங்களுக்குத்தான் சொந்தம். நீங்கள் இங்கு குளிப்பதற்கு அனுமதி இல்லை என சுற்றி இருந்த மீன்கள் சொல்லி சிரித்தன.

நிரூபிக்க முடியுமா?

இதைக்கண்ட 1/2, தனது நண்பன் 1/3ஐ பார்த்து நாங்கள் இருவர் மட்டுமல்ல. எங்களுக்குள் எண்ணற்றவர்கள் உள்ளார்கள் என்றது. இதை மீன்கள் நம்பவில்லை. “நீ கூறியதை நிரூபிக்க முடியுமா?” என்று மீன்கள் அனைத்தும் கேட்டன. 1/3, 1/2 ஆகிய எண்கள் தங்களது தொகுதி மற்றும் பகுதி மதிப்புகளை கூட்டி 2/5 என்ற எண்ணை உருவாக்கியது.

இதனை 1+1/3+2=2/5 என புரிந்து கொள்ளலாம். புதிதாக உருவான 2/5 எனும் எண் 1/3<2/5<1/2 என அமைவதால் 1/3,1/2 ஆகிய இரு எண்களுக்கு இடையில் 2/5 நின்று கொண்டது. இப்போது மேற்கூறிய முறையில் 1/3, 2/5 ஆகிய இரு எண்கள் தங்களது தொகுதி, பகுதி மதிப்புகளை கூட்டி 3/8 எனும் புதிய இடைப்பட்ட எண்ணை உருவாக்கின. இதேபோல் 2/5, 1/2 ஆகிய இரு எண்களும் 3/7 எனும் ஒரு புதிய இடைப்பட்ட எண்ணை தோற்றுவித்தன.

மன்னிப்பு கோரிய மீன்கள்

சிறிது நேரத்தில் கீழ்கண்டவாறு விகிதமுறு எண்களின் வரிசை கிடைத்தது. இப்படி அதிகரித்துக்கொண்டே சென்ற விகிதமுறு எண்களின் வரிசையை பார்த்த மீன்கள் வியந்து போயின. தங்களது தவறை உணர்ந்த மீன்கள் 1/3, 1/2 ஆகிய எண்களிடம் மன்னிப்பு கேட்டு அவற்றை குளித்து மகிழுமாறு அழைத்தன.

“மாணவர்களே, இக்கதையில் இருந்து என்ன கற்றுக் கொண்டீர்கள்?” என்று ஆசிரியர் கேட்டார். சற்று யோசித்தவர்களிடம், “இரு விகிதமுறு எண்களுக்கு இடையே எண்ணற்ற விகிதமுறு எண்கள் இருக்கின்றன என்பதை புரிந்து கொண்டீர்களா?” என்று சொல்லி ஆசிரியர் வகுப்பை நிறைவு செய்தார்.

a/b, c/d ஆகிய இரு விகிதமுறு எண்களுக்கு இடையே இருக்கும் விகிதமுறு எண்ணை கண்டறியும் பொது சூத்திரம் a+c/b+d ஆகும்.
a+c/b+d எனும் இடைமதிப்பை நாம் கணிதத்தில் மீடியன்ட் (Mediant) என அழைக்கிறோம். இதை ஏழாம் வகுப்பில் நீங்கள் படிப்பீர்கள்.

கட்டுரையாளர்: கணித ஆசிரியை,
பை கணித மன்றம்.