கணிதப் புதிர்கள்: இரண்டாம் வாய்ப்பாடும் எகிப்தியர் கணக்கும்

என். சொக்கன்

கடிகாரம் பதினோரு முறை ஒலித்தது. தலைமை ஆசிரியர் தன்னுடைய இருக்கையிலிருந்து எழுந்துகொண்டார். மெதுவாக நடக்கத் தொடங்கினார்.

நாள்தோறும் சரியாகப் பதினோரு மணிக்கு நடக்கத் தொடங்குவார். ஒவ்வொரு வகுப்பாக எட்டிப் பார்ப்பார், அங்கு நடக்கும் பாடத்தை வெளியில் நின்றபடி சில நிமிடங்களுக்குக் கேட்பார், பின்னர் தொடர்ந்து நடப்பார்.

எப்போதாவது அவர் சில வகுப்பு களுக்குள் நுழைவதும் உண்டு. ஆனால், பாடம் நடத்தும் ஆசிரியரைத் தொந்தரவு செய்ய மாட்டார், ஓரமாக நின்றபடி பாடத்தைக் கவனிப்பார், பிறகு வெளியேறிவிடுவார்.

இப்படி நாள்தோறும் நடப்பதன் மூலம் அவர் தெரிந்து கொள்கிற விஷயங் கள், புதிய திட்டங்கள் எல்லாம் பின்னர் ஆசிரியர்கள் கூட்டத்தில் வெளிவரும். அவருடைய புதுமையான ஆலோசனைகளை அமல்படுத்துவதன் மூலம் ஆசிரியர்கள் இன்னும் சிறப்பாகக் கற்பிக்க இயலும்.

இன்றைக்கும் அதேபோல் நடந்துகொண்டிருந்தார் தலைமை ஆசிரியர். ஒவ்வொரு வகுப்பாகப் பார்த்தபடி நடந்தவர், சத்தம் எழுந்து கொண்டிருந்த ஒரு வகுப்பறைக்குள் நுழைந்தார்.

அவரைப் பார்த்ததும், மாணவர்கள் சட்டென்று அமைதியானார்கள். ஒரே நேரத்தில் எழுந்து நின்றார்கள்.

‘‘உட்காருங்க. உங்க ஆசிரியர் வரலையா?”

‘‘கணிதத் தேர்வு.”

அந்த மாணவர் கையிலிருந்த வினாத்தாளை வாங்கிப் பார்த்தார். அதில் ‘பெருக்கல், வகுத்தல்’ என்று எழுதப்பட்டிருந்தது, கீழே பல கணக்குகள் பட்டியலிடப்பட்டிருந்தன.

வினாத்தாளை அந்த மாணவரிடமே கொடுத்துவிட்டுக் கரும்பலகையை நெருங்கினார் தலைமை ஆசிரியர். 43x75 என்று எழுதினார். ‘‘இந்தக் கணக்கைப் போடறதுக்கு உங்களுக்கு எத்தனை வாய்ப்பாடு தெரியணும்?’’

‘‘ஏழாம் வாய்ப்பாடும் அஞ்சாம் வாய்ப்பாடும் தெரியணும்” என்றார் ஒரு மாணவி.

‘‘நாலாம் வாய்ப்பாடும் மூணாம் வாய்ப்பாடும் தெரிஞ்சாக்கூடப் போதும்’’ என்றார் இன்னொரு மாணவி.

‘‘பலவிதமான பெருக்கல் கணக்குகளைப் போடணும்னா ஒண்ணுலேருந்து பத்து வரைக்கும் எல்லா வாய்ப்பாடுகளும் நல்லாத் தெரிஞ்சிருக்கணும், சரிதானே? எத்தனை பேருக்கு எல்லாப் பெருக்கல் வாய்ப்பாடுகளும் நல்லா தெரியும்?’’

ஐம்பது பேர் அமர்ந்திருந்த வகுப்பறையில் நான்கைந்து கைகள் மட்டும் உயர்ந்தன.

‘‘சரி, உங்கள்ல எத்தனை பேருக்கு ரெண்டாம் வாய்ப்பாடு நல்லா தெரியும்?’’

இப்போது, எல்லாக் கைகளும் உயர்ந்தன. கரும்பலகையைச் சுட்டிக் காட்டினார், ‘‘அந்தக் கால எகிப்தியர்கள் ரெண்டாம் வாய்ப்பாட்டை வெச்சே இந்த மாதிரி பெரிய கணக்குகளைக்கூடப் போட்டாங்களாம்’’ என்றார்.

‘‘ரெண்டாம் வாய்ப்பாட்டை வெச்சு நாற்பத்துமூன்றையும் எழுபத்தைந்தையும் எப்படிப் பெருக்க முடியும்?’’ என்றார் ஒரு மாணவர்.

‘‘அதுதான் சவால். உங்களுக்கு அஞ்சு நிமிஷம் தர்றேன், ரெண்டாம் வாய்ப்பாட்டை மட்டும் வெச்சு இந்தக் கணக்கை எப்படிப் போடறதுன்னு கண்டுபிடிங்க, பார்க்கலாம்!’’

விடை:

# பெருக்க வேண்டிய எண்களில் பெரிய எண்ணை இடப்புறம் எழுதிக்கொள்ள வேண்டும்; சிறிய எண்ணை வலப்புறம் எழுதிக்கொள்ள வேண்டும். அதாவது, 43x75 என்ற கணக்கைப் போடுவதற்கு இடப்புறம் 75, வலப்புறம் 43 என எழுத வேண்டும்
# இடப்புறம் உள்ள எண்ணை இரண்டால் வகுக்க வேண்டும், அதை அந்த எண் ணுக்குக் கீழே எழுதிக்கொள்ள வேண்டும்
# ஒரு வேளை, இடப்புறம் உள்ள எண் ஒற்றைப்படையாக இருந்தால், அது 2ஆல் முழுமையாக வகுபடாது, மீதி 1 வரும், அதை நாம் கண்டுகொள்ள வேண்டியதில்லை, அப்படியே விட்டுவிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 75ஐ 2ஆல் வகுத்தால் விடை 37, மீதி 1, நாம் அந்த மீதியை விட்டுவிட்டு 37 என்பதை மட்டும் எழுதினால் போதும்
# இப்போது, அந்த 37ஐ இதே முறைப்படி 2ஆல் வகுத்து அதற்குக் கீழே எழுத வேண் டும், இப்படியே ‘1’ என்ற விடை வரும்வரை ஒன்றன் கீழ் ஒன்றாக எழுதிக்கொண்டே செல்ல வேண்டும்:

75
37 (அதாவது, 75/2)
18 (அதாவது, 37/2)
9 (அதாவது, 18/2)
4 (அதாவது, 9/2)
2 (அதாவது, 4/2)
1 (அதாவது, 2/2)

# அடுத்து, முதல் வரியில் 75-க்கு வலப்புறம் உள்ள 43 என்ற எண்ணை 2 ஆல் பெருக்க வேண்டும், அந்த விடையை (86) இரண்டாம் வரியில், அதாவது, 37க்கு வலப்புறம் எழுத வேண்டும். இப்போது, அந்த 86ஐ மீண்டும் 2ஆல் பெருக்க வேண்டும், அதை மூன்றாம் வரியில் எழுத வேண்டும், இதேபோல் ஒவ்வோர் எண்ணாக 2ஆல் பெருக்கி ஒன்றன்கீழ் ஒன்றாக எழுதிக்கொண்டே செல்ல வேண்டும். இடப்புறம் ‘1’ என்ற எண் வந்தவுடன் பெருக்குவதை நிறுத்திவிடலாம். இதோ, இந்த வரிசையைப் பார்த்தால் புரியும்:

75->43
37->86 (அதாவது, 43x2)
18->172 (அதாவது, 86x2)
9->344 (அதாவது, 172x2)
4->688 (அதாவது, 344x2)
2->1376 (அதாவது, 688x2)
1->2752 (அதாவது, 1376x2)

# நிறைவாக, இடப்புறம் உள்ள ஒற்றைப்படை எண்களை மட்டும் வட்டமிட வேண்டும். அதாவது, 75, 37, 9, 1 ஆகிய எண்களை வட்டமிட வேண்டும். அவற்றுக்கு வலப்புறம் உள்ள எண்களை, அதாவது, 43, 86, 344, 2752 ஆகிய எண்களைக் கூட்ட வேண்டும்: 43+86+344+2752=3225
# ஆக, 43x75=3225. இரண்டாம் வாய்ப் பாட்டை மட்டும் வைத்து இந்த இரு பெரிய எண்களையும் பெருக்கிவிட்டோம்
# இதே முறைப்படி எந்த இரண்டு எண்களையும் நீங்கள் பெருக்கலாம், முயன்று பாருங்கள்.

.(அடுத்த வாரம், இன்னொரு புதிர்)
கட்டுரையாளர், எழுத்தாளர்
தொடர்புக்கு: nchokkan@gmail.com

கருத்தைப் பதிவு செய்ய

லேட்டஸ்ட் அப்டேட்களுக்கு இந்து தமிழ்திசை வாட்ஸ்அப் சேனலை Follow செய்யுங்கள்...
Follow