கணிதப் புதிர்கள் 13: நானும் நானும் வண்டு

என். சொக்கன்

அந்தப் பள்ளியின் கணிதத்துறைத் தலைவர் மாலதி. ஆங்கிலத்துறைத் தலைவர் ஜோசஃபின். இவர்கள் இருவரும் ஒரே நாளில் பிறந்தவர்கள். அன்று மாலை, பள்ளி வளாகத்தில் மாலதியுடைய பிறந்தநாள் கொண்டாட்டத்துக்கு ஏற்பாடு செய்யப்பட்டிருந்தது. அதில் ஜோசஃபினும் கலந்துகொண்டார். ஆட்டம், பாட்டம், கலகலப்பு எல்லாமே இருமடங்காகிவிட்டன.

விழாவின் நிறைவில், மாலதியும் ஜோசஃபினும் மாணவர்களுக்காக ஒரு புதிர் நிகழ்ச்சியை நடத்தினார்கள். அதற்கான கணிதக் கேள்விகளை மாலதியும் ஆங்கிலக் கேள்விகளை ஜோசஃபினும் தயாரித்தார்கள். மாணவர்கள் இரு அணிகளாகப் பிரிந்து கேள்விகளுக்குப் பதிலளித்தார்கள். தொடக்கத்திலிருந்தே, இரு அணிகளும் மிகச் சிறப்பாக விளையாடின. இவர்கள் பதினைந்து புள்ளிகளை எடுத்தால் அவர்கள் இருபதுக்குத் தாவுவார்கள்; அவர்கள் முப்பதைத் தாண்டினால் இவர்கள் நாற்பதுக்கு ஓடுவார்கள்.

ஒருமணி நேரத்துக்குப் பிறகு, போட்டி நிறைவடைந்தது. இரு அணியினரும் சரியாக 120 புள்ளிகளை எடுத்திருந்தார்கள்.‘‘என்ன செய்யலாம்? வெற்றிக்கோப்பையை இருவருக்கும் பகிர்ந்து கொடுத்துவிடலாமா?” என்று கேட்டார் மாலதி. ‘‘ஆமாம், இருவரும் சிறப்பாக விளையாடி இருக்கிறார்கள்; இவர்களில் ஒருவருக்கு மட்டும் பரிசு கொடுப்பது நியாயமில்லை’ என்று ஒப்புக்கொண்டார் ஜோசஃபின்.

ஆனால், மாணவர்கள் இதை ஏற்கவில்லை. இரு அணிகளும் தங்களுக்கு மட்டும்தான் வெற்றிக்கோப்பை கிடைக்க வேண்டும் என்றார்கள்.‘‘வேறு வழியில்லை, இந்தச் சமநிலையை முறிப்பதற்காக ஒரு டைபிரேக்கர் கேள்வியைக் கேட்க வேண்டியதுதான்” என்றார் மாலதி. ‘‘அந்தக் கேள்விக்கு யார் சரியாகப் பதில் சொல்கிறார்களோ அவர்களுக்கு வெற்றிக்கோப்பை கிடைக்கும்.”

மாணவர்கள் மகிழ்ச்சியாகத் தலையாட்டினார்கள். அந்தக் கேள்வி கணக்கிலிருந்து வருமா? அல்லது, ஆங்கிலத்திலிருந்து வருமா?
‘‘இரண்டும் கலந்து வரும்” என்று சிரித்தார் ஜோசஃபின். மாணவர்களுக்கு ஒன்றும் புரியவில்லை. அவர்களுடைய குழப்பத்தை மாலதி தீர்த்துவைத்தார். ‘‘இந்த மாதிரி ஏதாவது நடக்கும்னு நானும் ஜோசஃபினும் எதிர்பார்த்தோம். ஆங்கிலமும் கணக்கும் சேர்ந்த மாதிரி ஒரு கடினமான கேள்வியைத் தயாரிச்சு வெச்சிருந்தோம். அதைத்தான் இப்போ கேட்கப் போறோம்.”

இதைக் கேட்டதும் மாணவர்கள் மகிழ்ச்சியில் துள்ளிக்குதித்தார்கள். கவிதையைப்போலிருந்த அந்தக் கேள்வியை ஜோசஃபின் படித்தார்:
‘‘ஆங்கிலத்தில் நான் இரண்டெழுத்து, ஆங்கிலத்தில் வண்டு மூன்றெழுத்து, இதில் ஒவ்வொரு ஆங்கில எழுத்தும் ஒவ்வொரு இலக்கம்; எந்த இரு எழுத்துகளும் ஒரே இலக்கம் ஆகாது; இந்த நானும் இன்னொரு நானும் சேர்ந்தால் வண்டு கிடைக்கும். இப்போது சொல்லுங்கள்: நான் யார், வண்டு யார்?”
மாணவர்களுடைய குழப்பம் மேலும் அதிகமாகிவிட்டது.

‘‘இதுக்கு மேல நாங்க எதுவும் சொல்ல மாட்டோம். நீங்களே யோசிச்சுக் கேள்வியைப் புரிஞ்சுகிட்டுப் பதிலைக் கண்டுபிடிங்க” என்றார் மாலதி.
உங்களுக்கு இந்தக் கேள்வி புரிகிறதா? பதில் தெரிகிறதா?

விடை:

கேள்வியை ஒவ்வொரு வரியாகப் பிரித்துப் பதிலை யோசிப்போம்:

முதலில், ஆங்கிலத்தில் ‘நான்’ இரண்டெழுத்து: ME
அடுத்து, ஆங்கிலத்தில் ‘வண்டு’ மூன்றெழுத்து: BEE
இதில் மொத்தம் மூன்று ஆங்கில எழுத்துகள் உள்ளன: M, B, E. இவை ஒவ்வொன்றும் ஓர் இலக்கம் என்கிறது கேள்வி. அதாவது, இவை ஒவ்வொன்றும் 0 லிருந்து 9 வரையுள்ள ஏதோ ஓர் எண்ணுக்குச் சமம்.
அடுத்து, எந்த இரு எழுத்துகளும் ஒரே இலக்கமாகாது. அதாவது, M வேறு இலக்கம், B வேறு இலக்கம், E வேறு இலக்கம். இந்த மூன்றையும்தான் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
நிறைவாக, நானும் நானும் சேர்ந்தால் வண்டு. அதாவது: ME+ME=BEE. இதை இப்படி எழுதவேண்டும்:

ME +
ME
------
BEE

இந்த மாறுபட்ட கூட்டல் கணக்கில் இடப்பக்கத்தில் இருக்கும் கடைசி இலக்கத்தை முதலில் எடுத்துக்கொள்வோம். அங்கு E+E=E என்று வருகிறது. அதாவது, இரு இலக்கங்களைக் கூட்டினால் வரும் விடை அதே இலக்கத்தில் முடிவடைகிறது. 0-லிருந்து 9 வரையுள்ள அனைத்து இலக்கங்களையும் அவற்றுடனே கூட்டிப் பார்த்தால், 0+0=0 என்று அதே இலக்கம் வருகிறது; வேறு எந்த இலக்கத்திலும் இவ்வாறு வருவதில்லை. 1+1=2, 4+4=8, 9+9=18 என்று வெவ்வேறு இலக்கங்கள்தான் வருகின்றன. ஆக, E என்பது 0 என்ற இலக்கத்துக்குச் சமம் என்று நமக்கு உறுதியாகத் தெரிந்துவிட்டது. அதைக் கூட்டல் கணக்கில் எழுதிக்கொள்வோம்.

M0 +
M0
------
B00

அடுத்து, இடப்பக்கத்திலிருந்து இரண்டாவது இலக்கத்தை எடுத்துக்கொள்வோம்: M+M=0 என்று வருகிறது. அதாவது, ஓர் இலக்கத்தை அதே இலக்கத்துடன் கூட்டினால் வரும் விடை 0 என்ற இலக்கத்தில் நிறைவடைகிறது. முன்புபோலவே, 0-லிருந்து 9 வரையுள்ள அனைத்து இலக்கங்களையும் அவற்றுடனே கூட்டிப் பார்த்தால், இந்த இரு இலக்கங்களைக் கூட்டும்போது வரும் பதில் பூஜ்ஜியத்துடன் நிறைவடைகிறது:

0+0=0
5+5=10

ஆக, M என்ற எழுத்து 0 அல்லது 5. ஏற்கெனவே E என்ற எழுத்து 0 என்று கண்டறிந்துவிட்டோம்; ஆகவே M பூஜ்ஜியமாக இருக்க இயலாது; M=5 என்பதுதான் சரி. அதைக் கூட்டல் கணக்கில் எழுதிக்கொள்வோம்:

50 +
50
------
B00

50+50=100 என்று நமக்கு ஏற்கெனவே தெரியும். எனவே, B=1.
ஆகவே, ME+ME=BEE என்ற புதிரின் விடை, 50+50=100.
எழுத்துகளும் எண்களும் கலந்த இந்த வகைக் கணக்குகள் உலகம் முழுக்கப் புகழ்பெற்றவை. இவற்றை ‘Alphametic Puzzles’, ‘Cryptarithmetic Puzzles’ என்றெல்லாம் அழைக்கிறார்கள். ME+ME=BEE என்பதைவிட மிகச் சிக்கலான கணக்குகள் எல்லாம் இதில் உண்டு. எடுத்துக்காட்டாக, பல நூல்களில் இடம்பெற்ற இந்தப் புதிர்க் கணக்கை விடுவித்துப் பாருங்களேன்:

SEND +
MORE
------------
MONEY

(இதற்கான விடை: 9567+1085=10652)

(அடுத்த வாரம், இன்னொரு புதிர்)
கட்டுரையாளர், எழுத்தாளர்
தொடர்புக்கு: nchokkan@gmail.com