கணிதப் புதிர்கள் 10: மாதங்காட்டியில் மாயச்சதுரம்

மாலதியின் அப்பா தீனதயாளன் ஒரு பெரிய பெட்டியுடன் வீட்டுக்குள் நுழைந்தார். அந்தப் பெட்டியின் கனத்தையும் தாண்டி அவர் முகத்தில் ஒரு புன்னகை தெரிந்தது.

ஒவ்வொரு நவம்பர் மாதமும் மாலதி வீட்டுக்கு அந்தப் பெட்டி வரும், அத்துடன், தீனதயாளன் முகத்தில் பெரிய புன்னகையும் வரும்.

அப்படி அந்தப் பெட்டிக்குள் என்னதான் இருக்கிறது?

புத்தாண்டு வரப்போகிறதில் லையா? அதற்கான நாட்காட்டிகள், மாதங்காட்டிகள், நாட்குறிப்புகளை எல்லாம் மொத்த விலையில் வாங்கு வார் தீனதயாளன். டிசம்பர் பிறந்ததும் நண்பர்கள், உறவினர்களைத் தேடிச் சென்று வழங்குவார்.

மற்றவர்களைப் போல் எல்லோருக்கும் ஒரே மாதிரி நாட்காட்டியோ நாட்குறிப்போ தருவது தீனதயாளனுக்குப் பிடிக்காது. ஒவ்வொருவருக்கும் என்ன பிடிக்கும் என்று சிந்தித்து, அதற்குப் பொருத்தமான பரிசுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பார்.

எடுத்துக்காட்டாக, தீனதயாளனுடைய அண்ணன் விளையாட்டுப் பிரியர். அவருக்குத் தோனி படம் போட்ட நாட்காட்டியைத் தேர்ந்தெடுப்பார். தீனதயாளனுடைய அலுவலக மேலாளர் ஆன்மிகத்தில் ஆர்வம் கொண்டவர். அவருக்குக் கோயில் ஓவியங்களுடன் கூடிய நாட்குறிப்பைத் தருவார். பக்கத்து வீட்டிலிருக்கிற சுரேந்திரனுக்கு நகைச்சுவை பிடிக்கும். ஆகவே, அவருக்கு கார்ட்டூன் படங்கள் நிறைந்த நாட்குறிப்பை வழங்குவார். இப்படி ஒவ்வொருவருக்கும் வெவ்வேறு பரிசு, அதுவும் அவர்களுக்குக் கண்டிப்பாகப் பிடிக்கக்கூடிய பரிசை வழங்குவதுதான் தீனதயாளனுடைய தனிச்சிறப்பு.

சென்ற ஆண்டிலிருந்து, மாலதியும் தன்னுடைய நண்பர்களுக்குப் பரிசு களைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம் என்று சொல்லியிருந்தார் தீனதயாளன். அவளும் அப்பாவைப் போல் தன்னுடைய நண்பர்களைப் பற்றி ஆழமாகச் சிந்தித்துப் பொருத்தமான பரிசுகளைத் தேர்ந்தெடுத்திருந்தாள்.

இன்றைக்கு அப்பா கையில் பெட்டியைப் பார்த்ததும் மாலதி மகிழ்ச்சியில் துள்ளினாள், ''புத்தாண்டுப் பரிசுதானேப்பா?’' என்று ஆவலுடன் கேட்டாள்.

''ஆமாம் மாலதி. அம்மாவையும் கூப்பிடு, பெட்டியைப் பிரிப்போம்.’'

பெட்டி திறக்கப்பட்டது. உள்ளேயிருந்த அழகான, பலவண்ண நாட்காட்டிகள், மாதங்காட்டிகள், நாட்குறிப்புகளை எல்லாம் அவர்கள் ஆவலுடன் புரட்ட ஆரம்பித்தார்கள். யாருக்கு எந்தப் பரிசு என்று விவாதித்து மகிழ்ந்தார்கள்.

எல்லாவற்றையும் பார்த்துவிட்டு, தங்கள் வீட்டுக்காக வாங்கியிருந்த மாதங்காட்டியை எடுத்துச் சுவரில் மாட்டினார் தீனதயாளன், ''நல்லாயிருக்கா?’'

''ரொம்ப அழகா இருக்குப்பா. இதை வெச்சு விளையாடலாமா?''

''என்ன விளையாட்டு?'’

''இந்த மாதங்காட்டியில் நிறைய எண்கள் இருக்கு, இதுல, வரிசைக்கு மூணா மொத்தம் மூணு வரிசைகளில் ஏதாவது ஒன்பது எண்களை அம்மா தேர்ந்தெடுத்துக் கட்டம் போடுவாங்க, அதாவது, 3x3 சதுரம் வரைவாங்க, அந்தச் சதுரத்துக்குள்ள இருக்கிற எண்களோட கூட்டுத்தொகை என்னவென்று் நாம ரெண்டு பேரும் கண்டுபிடிக்கணும். யார் முதல்ல கண்டுபிடிக்கறோமோ அவங்களுக்கு வெற்றி. சரியா?’'

இதன்படி, மாலதியின் அம்மா முதலில் 1 என்ற எண்ணில் தொடங்கி 3x3 கட்டம் வரைந்தார். அதில் 1, 2, 3, 8, 9, 10, 15, 16, 17 ஆகிய எண்கள் இடம்பெற்றிருந்தன. தீனதயாளன் அவற்றை விறுவிறுவென்று கூட்ட ஆரம்பித்தார். அதற்குள் மாலதி விடையைச் சொல்லிவிட்டாள், ‘81'.

அடுத்து, மாலதியின் அம்மா 14 என்ற எண்ணில் தொடங்கி 3x3 கட்டம் வரைந்தார். அந்தக் கட்டத்தைத் தீனதயாளன் சரியாகப் பார்ப்பதற்குள் மாலதி விடையைச் சொல்லிவிட்டாள், ‘198'.

இப்படி மாலதியின் அம்மா எந்தக் கட்டம் வரைந்தாலும் சரி, உடனுக்குடன் மாலதி விடையைச் சொல்லிக்கொண்டிருந்தாள். இதைப் பார்த்துத் தீனதயாளனுக்கு ஐயம் வந்தது, ''நீ ஏதோ சுருக்குவழி வெச்சிருக்கேன்னு நினைக்கறேன்’' என்றார்.

மாலதி, “சுருக்குவழிதான், ஆனால், நீங்களே கண்டுபிடிங்க’' என்றாள்.

தீனதயாளன் யோசிக்கத் தொடங் கினார். நீங்களும் யோசியுங்கள்!

(அடுத்த வாரம், இன்னொரு புதிர்)
- என். சொக்கன், எழுத்தாளர்
தொடர்புக்கு: nchokkan@gmail.com | ஓவியம்: கிரிஜா

விடை

உங்கள் வீட்டிலிருக்கும் மாதங்காட்டியைக் கவனியுங்கள். அதில் எண்கள் எப்படி அமைந்துள்ளன என்பதைப் புரிந்துகொள்ளுங்கள்.

சில 3x3 கட்டங்களை வரைந்து பாருங்கள், அவற்றுக்குள் இருக்கும் எண்களை ஆராயுங்கள். அதன்மூலம் எளிதில் இந்தப் புதிருக்கு விடை காணலாம்.

மாதங்காட்டியில் ஒவ்வொரு வரிசையிலும் எண்கள் அடுத்தடுத்து அமைந்துள்ளன;

அதாவது, 1-க்கு அடுத்து 2, 17-க்கு அடுத்து 18 என்பதுபோல. ஆனால், அடுத்தடுத்த வரிசைகளில் உள்ள எண்கள் 7 கூடுதலாக உள்ளன. அதாவது, 1-க்குக் கீழே 8 (1+7) இருக்கும், 8-க்குக் கீழே 15 (8+7) இருக்கும். ஏனெனில், வாரத்துக்கு மொத்தம் ஏழு நாட்கள்.

ஆக, நீங்கள் 3x3 அளவில் எந்தக் கட்டம் வரைந்தாலும் அதிலுள்ள 9 எண்களை எளிதில் ஊகித்துவிடலாம்:

முதல் எண்ணை x என்று வைத்துக்கொண்டால், அடுத்து x+1, x+2, அடுத்த வரிசையில் x+7, x+8, x+9, மூன்றாவது வரிசையில் x+14, x+15, x+16. இதை உங்கள் மாதங்காட்டியிலுள்ள 3x3 கட்டத்தில் பென்சிலால் எழுதிக் கொள்ளுங்கள். பின்னர் இவை அனைத்தை யும் கூட்டிப் பாருங்கள்:

x+x+1+x+2+x+7+x+8+x+9+x+14+x+15+x+16=9x+72

இதன் பொருள், முதல் எண்ணை (x) 9-ஆல் பெருக்கி, அத்துடன் 72-ஐக் கூட்டினால் விடை கிடைத்துவிடும். எடுத்துக் காட்டாக, முதல் கட்டத்தில் 1 இருந்தால், 1x9+72=81. முதல் கட்டத்தில் 14 இருந்தால், 14x9+72=198. இதைவிட எளிய வழி ஒன்றும் இருக்கிறது. 9x+72 என்பதை 9(x+8) என்று மாற்றி எழுதலாம்.

இப்போது உங்கள் கட்டத்தைக் கவனித்துப் பாருங்கள், x+8 என்ற எண்தான் 3x3 சதுரத்தில் நடுவில் இருக்கும். அதை 9-ஆல் பெருக்கினால் இதே விடை கிடைக்கும்.

மாலதி பயன்படுத்திய சுருக்குவழி அதுதான்: 3x3 கட்டத்தின் மையத்தில் உள்ள எண்ணை எடுத்து 9-ஆல் பெருக்கினால் போதும், அதுதான் விடை!