வெல்லுங்கள் CSAT 2025 - 3: எண் கணிதம் - 3

பகா எண்கள் (Prime Numbers): எந்தவோர் எண்ணையும் 1 மற்றும் அவ்வெண் மட்டும் மீதியின்றி வகுக்கும் எனில், அக்குறிப்பிட்ட எண் பகா எண் ஆகும். முதல் இயல் எண்ணான 1 பகு எண்ணும் அல்ல. பகா எண்ணும் அல்ல. முதல் பகா எண்ணான 2, இரட்டைப்படை எண்களில் உள்ள ஒரே பகா எண்ணாகும். 2ஐத் தவிர மற்ற அனைத்து பகா எண்களுமே ஒற்றைப்படை எண்களே.

அனைத்து ஓரிலக்க எண்களில் 2, 3, 5, 7 ஆகியவை ஓரிலக்க பகா எண்களாகும். 2, 3 ஆகிய இரண்டு எண்களும் அடிப்படை பகா எண்கள் (Fundamental Primes). அனைத்து பகா எண்களுமே '6n -1' அல்லது '6n +1' என்ற வடிவத்தில்தான் இருக்கும். இங்கு 'n' என்பது இயல் எண்ணைக் குறிக்கும். கொடுத்துள்ள ஓர் எண் (இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை எதுவாக இருந்தாலும்) பகா எண்ணா என்பதை அறிய:

படி (Step) 1: கொடுத்துள்ள எண்ணை 6ஆல் வகுத்து மீதியைக் கண்டறிய வேண்டும். மீதி 0 முதல் 5 வரையுள்ள 6 எண்களுள் ஏதாவது ஒன்றாகத்தான் இருக்க முடியும். மீதி 1 அல்லது 5 எனக் கிடைத்தால் கொடுத்துள்ள எண் பகா எண்ணாக இருக்க வாய்ப்பு உள்ளது. நிச்சயமாக பகா எண் என்றும் கூற இயலாது.

படி (Step) 2: படி 1 கொடுத்துள்ள எண்ணுக்கு பொருந்தியது எனில், அவ்வெண் எந்த எண்ணின் முழு வர்க்கத்தை (square) விடக் குறைவாக உள்ளது என அறிய வேண்டும். அதாவது, கொடுத்துள்ள எண்ணின் வர்க்க மூலம் (square root) எந்த எண்ணைவிட குறைவாக உள்ளது என்பதைத் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும். அவ்வாறு கண்டறிந்த எண்ணுக்குக் குறைவாக உள்ள அனைத்து பகா எண்களாலும் (அடிப்படை பகா எண்களான 2, 3ஐத் தவிர) கொடுத்துள்ள எண் மீதியின்றி வகுபடுகிறதா என ஆராய வேண்டும். குறைந்தபட்சமாக ஒரு பகா எண்ணால் வகுபட்டால்கூட, கொடுத்துள்ள எண் பகா எண் அல்ல. பகு எண்ணாகும். மாறாக, கண்டறிந்த எந்த ஒரு பகா எண்ணாலும் கொடுத்துள்ள எண் மீதியின்றி வகுபடவில்லை எனில், கொடுத்துள்ள எண் நிச்சயமாக பகா எண்ணாகத்தான் இருக்க முடியும்.

எ.கா. 1: கொடுத்துள்ள எண் 131 ஆக இருக்கட்டும். படி 1இன் படி 131 ஒரு பகா எண்ணாக இருக்க வாய்ப்பு உள்ளது. ஏனெனில் 131ஐ ஆறால் வகுத்தால் மீதி 5. 131 ஆனது 12 இன் வர்க்கமான 144ஐ விட குறைவாக உள்ளதால் 12க்கு குறைவாக உள்ள பகா எண்களால் 131 வகுபடுமா என ஆராயவேண்டும். 12க்கு குறைவாக உள்ள பகா எண்கள் 2, 3, 5, 7, 11. இவற்றுள் 2, 3 (அடிப்படை பகா எண்கள்)ஐத் தவிர 5, 7, 11ஆல் வகுபடுகிறதா என ஆராய்ந்தால் போதுமானது. 131 ஐ 5,7 மற்றும் 11 நிச்சயமாக மீதியின்றி வகுக்காது. எனவே 131 பகா எண்ணாகும்.

எ.கா. 2 : கொடுத்துள்ள எண் 231ஆக இருக்கட்டும். படி 1இன் படி 231 ஒரு பகா எண்ணாக இருக்க வாய்ப்பு இல்லை. ஏனெனில் 231ஐ ஆறால் வகுத்தால் மீதி 3. எனவே, படி 1 பொருந்தவில்லை. ஆக, 231 நிச்சயமாக பகு எண்ணாகும்.

ஈரிலக்க எண்களில் மிகப்பெரிய மற்றும் மிகச்சிறிய பகாஎண்கள் முறையே 97 மற்றும்11. மூன்றிலக்க எண்களில் மிகப்பெரிய மற்றும் மிகச்சிறிய பகாஎண்கள் முறையே 997 மற்றும்101 ஆகும். நான்கிலக்க எண்களில் மிகச்சிறிய பகாஎண் 1009 மற்றும் மிகப்பெரிய பகாஎண் 9973 ஆகும். மிக மிகப்பெரிய பகா எண்ணாக கருதப்படும் எண் 2^(82,589,933) − 1. இவ்வெண்ணின் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கை 24862048 ஆகும்.

பகு எண்கள் (Composite Numbers)
இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பகா காரணிகளை உடைய எண்கள் அனைத்தும் பகு எண்களாகும். முதல் பகு எண் 4. ஏனெனில் 4 = 2 × 2, இரண்டு பகா காரணிகளின் பெருக்கற்பலன்.

எந்த ஒரு பகு எண்ணையும் கீழ்க்கண்ட முறையில் எழுதலாம்.
N = (p^l)×(q^m)×(r^n)×......
இங்கு p,q மற்றும் r பகா எண்கள். மேலும் l, m மற்றும் n முறையே அதன் அடுக்குகள்.
N இன் பகா காரணிகளின் எண்ணிக்கை = l + m + n......
N இன் வகுத்திகளின் எண்ணிக்கை = (l+1)(m+1)(n+1)......

எ.கா. 1 : 12 = 2×2×3 = (2^2)×(3^1). இங்கு p = 2 ; q = 3 ; l = 2 ; m = 1.
12இன் பகா காரணிகளின் எண்ணிக்கை = 2 + 1 = 3
12இன் வகுத்திகளின் எண்ணிக்கை (2+1)(1+1) = 6.
வகுத்திகளின் எண்ணிக்கையைக் காண தனித்தனியாக வகுத்து கண்டறிய வேண்டிய அவசியமில்லை.
12இன் வகுத்திகள் 1, 2, 3, 4, 6 மற்றும் 12 ஆகும்.

எ.கா. 2 : 42 = 2×3×7 =(2^1)×(3^1)×(7^1)
இங்கு p = 2 ; q = 3 ; r = 7 ; l = 1 ; m = 1 ; n = 1.
42இன் பகா காரணிகளின் எண்ணிக்கை = 1 + 1 + 1 = 3
42இன் வகுத்திகளின் எண்ணிக்கை = (1+1)(1+1)(1+1)= 8.
வகுத்திகளை தனித்தனியாக வகுத்து கண்டறிய வேண்டாம்.
42இன் வகுத்திகள் 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 மற்றும் 42 ஆகும்.

எ.கா. 3 : 270 = 2×3×3×3×5 = (2^1)×(3^3)×(5^1). இங்கு p = 2 ; q = 3 ; r = 5 ; l = 1 ; m = 3 ; n = 1.
270 இன் பகா காரணிகளின் எண்ணிக்கை = 1 + 3 + 1 = 5
270 இன் வகுத்திகளின் எண்ணிக்கை(1+1)(3+1)(1+1)= 16.
270இன் வகுத்திகள் 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 45, 54, 90, 135 மற்றும் 270 ஆகும்.

220 - 284 சோடி எண்கள்

220இன் வகுத்திகள்
1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220
220ஐத்தவிர மற்றவகுத்திகளின்கூடுதல்
1 + 2 + 4 + 5 + 10+ 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

284 இன் வகுத்திகள்
1, 2, 4, 71, 142, 284
284 ஐத்தவிர மற்றவகுத்திகளின்கூடுதல்
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

எனவே 220, 284 ஆகிய இரு எண்களும் சோடி எண்கள் எனப்படுகின்றன.
மேலும் 1184 மற்றும் 1210 சோடி எண்களே.

மூன்று அடுத்துள்ள இலக்கங்களைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கப்படும் அனைத்து மூன்றிலக்க எண்களுமே பகு எண்களாகும். ஏனெனில் அவ்வாறு உருவாக்கப்படும் அனைத்து எண்களுமே மூன்றின் மடங்காகும். மூன்று அடுத்துள்ள இலக்கங்களை 'n - 1', 'n' மற்றும் 'n + 1' எனக் கொண்டால் அவற்றால் உருவாக்கப்படும் ஒவ்வொரு மூன்றிலக்க எண்ணின் இலக்கங்களின் கூடுதல் '3n' ஆகும். எனவே உருவாக்கப்படும் அனைத்து எண்களும் 3ஆல் வகுபடும்.

நான்கு அடுத்துள்ள இலக்க எண்களை முறையாகப் பயன்படுத்தி உருவாக்கப்படும் நான்கிலக்க எண்கள் 1234, 2345, 3456, 4567, 5678, 6789. இவற்றுள் 4567ஐத் தவிர மற்ற எண்கள் அனைத்தும் பகு எண்களாகும். 4567 என்பது ஒரு பகா எண்ணாகும்.

- கட்டுரையாளர், போட்டித் தேர்வு பயிற்சியாளர், குளோபல் விக்கிமாஸ்டர்; தொடர்புக்கு: success.gg@gmail.com

முந்தைய அத்தியாயம் > வெல்லுங்கள் CSAT 2025 - 2: எண் கணிதம்- 2