கதையில் கலந்த கணிதம்: சக்கர வியூகமும் 1/7 பின்னமும்

பாண்டவர்களுக்கும் கவுரவர்களுக்கும் இடையே நடைபெற்ற போரில் பிரமிப்பூட்டும் பல தந்திரங்கள் கையாளப்பட்டன. அதில் ஒன்றுதான் ‘சக்கர வியூகம்’ எனப்படுகிறது.

இது வெவ்வேறு அளவிலான ஏழு சுழலும் வட்டங்களைக் (சக்கர) கொண்ட போர்த் தந்திரச் செயல்திட்டம். இதில், ஒவ்வொரு சக்கர அடுக்கும் திருகு சுழல் வடிவில் (Helix) சுழன்று அமையும். அது உள்ளே செல்லச் செல்ல இறுக்கமாக மூடிக் கொள்ளும். ஒரு வீரர் இதன் உட்பகுதிக்கு முன்னேறும்போது பெரும் குழப்பமும், சோர்வும் அடைவார். இதன் இறுதிச் சக்கர அடுக்கில் தலை சிறந்த வீரர்கள் உள்ளே வருபவரைக் கடுமையாகத் தாக்குவதற்காகக் காத்திருப்பார்கள்.

மரண இயந்திரம்

போர்க் களத்தில் சுழலும் மரண இயந்திரமாகக் சக்கர வியூகம் கருதப்பட்டது. எனவே, மிக நுட்பமான அறிவும் ஆற்றலும் இல்லையெனில் இதன் உள்ளே செல்பவர்கள் உயிர் பிழைத்து மீண்டும் வெளியில் வருவது மிக அரிது.

பாண்டவர்களை வீழ்த்த துரோணாச்சாரியார் இந்தச் சக்கர வியூக அமைப்பை ஏற்படுத்தினார். பெரும் சிக்கலை ஏற்படுத்தி, எதிரியை மதிமயங்க வைக்கும் இந்த பயங்கரமான போர்த் தந்திரத்தை முறையாகப் புரிந்து கொண்டு, இந்தச் சக்கர வியூகத்தின் உள்ளே ஊடுருவிச் சென்று, போர் புரிந்து, பிழைத்து, அதைத் தகர்த்து உயிருக்குச் சேதமில்லாமல் மீண்டு வரும் திறமை பாண்டவர்களில் அர்ஜுனன் உட்பட ஒருசிலருக்கே இருந்தது.

தூக்கத்தால் கெட்ட பாடம்

மகாபாரதக் கதைப்படி அர்ஜுனனின் மகன் அபிமன்யு. அவனது அம்மா சுபத்திரையின் வயிற்றில் கருவாக இருந்தபோது ஒரு நாள் அர்ஜுனன் சுபத்திரையிடம் சக்கர வியூகத்தில் உள்ளே செல்லும் வழியை சொல்லிக் கொண்டிருந்தார். அதிலிருந்து வெளியே வருவதைப்பற்றி சொல்லுவதற்கு முன்னால் சுபத்திரை தூங்கிவிட்டார். இதனால், அவள் வயிற்றில் இருந்த அபிமன்யுவுக்கு சக்கர வியூகத்தின் உள்ளே செல்லும் வழியை மட்டுமே கேட்க முடிந்தது. அதிலிருந்து வெளியில் வருவதற்கு வழி தெரிய வாய்ப்பில்லாமல் போனது.

பாண்டவர்களில் மூத்தவராகிய தருமரைச் சிறைப் பிடிக்கவே சக்கர வியூகம் ஏற்படுத்தப்பட்டதாகக் கூறப்படுகிறது. அர்ஜுனனுக்குச் சக்கர வியூக அமைப்பைக் களைந்தெறியும் ஆற்றல் அமைந்திருந்ததால் அவரது கவனத்தை துரோணர் திசைதிருப்பியிருந்தார். வெகு தொலைவில் அர்ஜுனன் இருந்தார்.

சக்கரம் குடித்த உயிர்

ஆனால், இந்தப் போர் முறையை அறியாத தருமர், தனது சகோதரரின் புதல்வனான அபிமன்யுவைச் சக்கர வியூகத்தில் போரிடுமாறு ஆணையிட்டார். அபிமன்யு “இந்த வியூகத்தின் உள்ளே செல்ல மட்டும்தான் வழி தெரியும். வியூகத்தை உடைத்து வெளியில் வருவதற்கு வழி தெரியாது” என தருமரிடம் கூறினார். “நாங்களும் சக்கரவியூகத்தில் தொடர்ந்து வந்து காப்போம்” என தர்மர் உறுதியளித்தார். அபிமன்யுவும் அதனுள் நுழைந்தார்.

சக்கர வியூக அமைப்பின் உள்ளே திறமையாகச் சென்ற அபிமன்யு கவுரவர்களின் சேனையைத் துவம்சம் செய்து இறுதி வட்ட அடுக்குக்கு முன்னேறினார். அங்கு கவுரவர்களின் மிகச் சிறந்த வீரர்கள் மொத்தமாகக் குழுமியிருந்தார்கள். முடிந்த வரை போராடிய அபிமன்யுவுக்குச் சக்கர வியூகத்திலிருந்து வெளியில் வர வழி தெரியாததால் ஒரே நேரத்தில் பல கவுரவ வீரர்களின் தாக்குதலுக்கு ஆட்பட்டு, தன் உயிரை நீத்தார்.

சக்கரமாய் சுற்றும் 1/7

நாம் ஏழு என்ற எண்ணைக் கொண்டு ஒரு சக்கர வியூகம் செய்யலாமா? உதாரணமாக, நாம் 1/7என்ற பின்னத்தைக் எடுத்துக்கொள்வோம். இந்த பின்னத்தின் மதிப்பைக் கணக்கிட்டால்

1/7= 0.142857142857142857... = 0.142857

எனக் கிடைக்கும். இந்த மதிப்பை ஒன்றிலிருந்து ஆறு வரையிலான எண்களால் பெருக்குவோம். பின்வரும் சமன்பாடுகள் கிடைக்கும். (பெட்டியிலுள்ள எண்கள் காண்க)

சக்கர வியூகத்தில் தோன்றுவதைப் போல 142857 ஆகிய ஆறு இலக்கங்கள் மீண்டும் மீண்டும் மேற்கண்ட சமன்பாடுகளில் சுழன்று சுழன்று வருவதைப் பாருங்கள். மேலும் இந்தப் பண்பைக் கீழ்க்காணும் வட்ட அமைப்பு மூலம் அறிந்துகொள்ளலாம்.

1/7= 0.142857142857142857...

என்ற எண்ணின் தசம இலக்கங்கள் 1, 4, 2, 8, 5, 7 ஆகிய எண்கள். இவற்றை சக்கர வியூகத்தில் தோன்றும் முதல் ஆறு சக்கர அடுக்குகளை எடுத்துக்கொள்ளலாம். ஒவ்வொரு சக்கர அடுக்கைத் தாண்டிப் போகும்போதும் மீண்டும் அந்த அடுக்கில் வீரர்கள் சூழ்ந்து கொண்டு சக்கர அடுக்குகளை சரிசெய்வது, சக்கர வியூகத்தின் முக்கியமான பண்பு. ஒவ்வோர் அடுக்கையும் ஒன்று முதல் ஆறு வரை கருதி, 1/7 = 0.142857142857142857...

என்ற எண்ணை ஒன்று முதல் ஆறு வரை பெருக்கும்போது இந்த இலக்கங்களே மீண்டும் மீண்டும் சக்கர வியூகத்தின் சுழலும் பண்புக்கு இணையாகத் தோன்றி அமைவதை உணரலாம். ஆகையால்

1/7= 0.142857142857142857... என்ற எண் சக்கர வியூகப் பண்பைப் பிரதிபலிக்கிறது.

சக்கரத்தை உடைத்த ஒன்று

அபிமன்யு திறமையாகப் போரிட்டு முதல் ஆறு அடுக்குகளைத் தாண்டி இறுதிச் சக்கர அடுக்கில் மாட்டி உயிர்நீத்த கதையைக் கண்டோம். இப்போது நாம் 1/7= 0.142857142857142857... என்ற எண்ணை ஏழால் பெருக்கினால் கிடைப்பது 1/7= 0.142857142857142857...x7 = 0.999999999999...= 0.9 = 1 ஆகும்.

எனவே 1/7= 0.142857142857142857...

என்ற எண்ணை ஏழால் பெருக்கினால் மேற்கண்ட சக்கர அமைப்பு உடைந்துவிடுகிறது. 1 என்ற ஒரு எண் மட்டும் தோன்றுகிறது.

ஆகவே, சக்கர வியூகத்தில் முதல் ஆறு சக்கர அடுக்குகளைத் தாண்டி செல்பவர்கள் இறுதி அடுக்கில் மிகச் சிறந்த ஆற்றலை வெளிப்படுத்தி (ஏழால் பெருக்குவதைப் போல) கூடுதலாக, தாக்கினால் அந்த வியூகத்தை உடைத்து வெற்றிகரமாக மீண்டு, முதல் தர வீரராக (விடை 1 வருவதால்) வெளிப்படலாம்.

7-ஆல் பெருக்குவதைப் போன்ற மிக முக்கியமான ரகசியம் அபிமன்யுவுக்கு தெரியாததால் இறுதி அடுக்கில் சிக்கி மாண்டார்.

மகாபாரதப் போரில் மொத்தம் மூன்று முறை சக்கர வியூகம் அமைத்தார்களாம். அர்ஜுனன் சக்கர வியூக அமைப்பை இரு முறை தகர்த்தெறிந்தார்.

அடுத்த முறை கணக்குப் போடும் போது நீங்களும் இந்த வியூகத்தை தகர்த்துவிடுவீர்கள்தானே?

சக்கரமாய் சுற்றும் 142857

0.142857142857142857...x1 = 0.142857142857142857... = 0.142857

0.142857142857142857...x2 = 0.285714285714285714... = 0.285714

0.142857142857142857...x3 = 0.428571428571428571... = 0.428571

0.142857142857142857...x4 = 0.571428571428571428... = 0.571428

0.142857142857142857...x5 = 0.714285714285714285... = 0.714285

0.142857142857142857...x6 = 0.857142857142857142... = 0.857142

தொடர்புக்கு: piemathematicians@yahoo.com