வெல்லுங்கள் CSAT 2025 - 2: எண் கணிதம்- 2

கூட்டிலக்கத்தைப் பயன்படுத்தி வகுபடுந்தன்மைகள் (Divisibility).

உண்மை : 1
ஓர் எண்ணின் கூட்டிலக்கம் 3 அல்லது 6 அல்லது 9ஆக இருப்பின் அவ்வெண் முழுமைக்கும் 3ஆல் நிச்சயமாக மீதியின்றி வகுபடும்.

எ.கா. 1 : 4518792 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 4+5+1+8+7+9+2 = 36 → 3+6 = 9. எனவே 4518792ஐ 3 மீதியின்றி வகுக்கும்.

உண்மை : 2
ஓர் இரட்டைப்படை எண்ணின் கூட்டிலக்கம் 3 அல்லது 6 அல்லது 9ஆக இருப்பின் அவ்வெண் முழுமைக்கும் 6ஆல் நிச்சயமாக மீதியின்றி வகுபடும்.

எ.கா. 1 : 845676 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம். எனவே 8+4+5+6+7+6 = 36→3+6→ 9. எனவே 845676ஐ 6 மீதியின்றி வகுக்கும்.

உண்மை : 3
ஓர் எண்ணின் கூட்டிலக்கம் 9ஆக இருப்பின் அவ்வெண் முழுமைக்கும் 9ஆல் நிச்சயமாக மீதியின்றி வகுபடும்.

எ.கா. 1 : 4518792 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 4+5+1+8+7+9+2 = 36 → 3+6 = 9. எனவே 4518792ஐ 9 மீதியின்றி வகுக்கும்.

உண்மை : 4
ஓர் எண்ணின் கூட்டிலக்கம் 9ஐ தவிர வேறு இலக்கமாக இருப்பின் அவ்வெண்ணை 9ஆல் வகுத்தால், கிடைக்கும் மீதி அவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கமே. கூட்டிலக்கம் 9ஆக இருந்தால், அவ்வெண் மீதியின்றி 9ஆல் வகுபடும்.

எ.கா. 1 : 634697 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 6+3+4+6+9+7 = 35→3+5→ 8. எனவே, 634697ஐ 9ஆல் வகுத்தால் மீதி 8.

எ.கா. 2 : 523584 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 5+2+3+5+8+4 = 27→2+7→ 9. எனவே 523584ஐ 9 மீதியின்றி வகுக்கும். அதாவது மீதி 0 ஆகும்.

உண்மை : 5
ஓர் இரட்டைப்படை எண்ணின் கூட்டிலக்கம் 9ஆக இருப்பின் அவ்வெண் முழுமைக்கும் 18ஆல் நிச்சயமாக மீதியின்றி வகுபடும்.

எ.கா. 1 : 923562 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 9+2+3+5+6+2 = 27→2+7→ 9. மேலும் இரட்டைப்படை எண். எனவே, 923562ஐ 18 மீதியின்றி வகுக்கும்.

உண்மை : 6
ஓர் எண்ணின் கடைசி இலக்கம் 0 அல்லது 5ஆகவும் அதன் கூட்டிலக்கம் 3 அல்லது 6 அல்லது 9ஆக இருப்பின் அவ்வெண் முழுமைக்கும் 15ஆல் நிச்சயமாக மீதியின்றி வகுபடும்.

எ.கா. 1 : 1187925 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 1+1+8+7+9+2+5 = 33 → 3+3 = 6. எனவே, 1187925ஐ 15 மீதியின்றி வகுக்கும்.

எ.கா. 2 : 578390 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 5+7+8+3+9+0 = 32 → 3+2 = 5. எனவே 578390ஐ 15 மீதியின்றி வகுக்காது.

உண்மை : 7
கூட்டிலக்கத்தைப் பயன்படுத்தி ஓர் எண் முழு வர்க்ககமாக (perfect square) இருக்குமா, இருக்காதா என்பதை அறியலாம். ஓர் எண்ணின் கூட்டிலக்கம் 1 அல்லது 4 அல்லது 7 அல்லது 9ஆக இருப்பின், அவ்வெண் முழு வர்க்க எண்ணாக(Perfect Square) இருக்கலாம். ஆனால், நிச்சயமாக முழு வர்க்கம் எனக் கூற இயலாது. அதே நேரத்தில் கூட்டிலக்கம் 2அல்லது 3 அல்லது 5 அல்லது 6 அல்லது 8 ஆக இருப்பின் அவ்வெண் நிச்சயமாக முழு வர்க்க எண்ணாக இருக்கமுடியாது என கூறிவிடலாம். கடைசி இரு இலக்கங்களும் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அவ்வெண் முழு வர்க்கமாக இருக்கலாம். கடைசி இலக்கம் மட்டும் பூஜ்ஜியமாக இருப்பின் அவ்வெண் நிச்சயமாக முழுவர்க்கமாக இருக்க முடியாது.

இலக்கம் வர்க்கம்

வர்க்க கூட்டிலக்கம்

1 1 1 2 4 4 3 9 9 4 16 7 5 25 7 6 36 9 7 49 4 8 64 1 9 81 9

பூஜ்ஜியமற்ற (Non-zero) எந்த எண்ணும் 1 முதல் 9 வரையிலான ஏதாவது ஒர் இலக்கத்தை கூட்டிலக்கமாகக் கொண்டிருக்கும். எனவே முழு வர்க்க எண்கள் அனைத்துமே கூட்டிலக்கமாக 1, 4, 7 மற்றும் 9 ஆகியவற்றுள் ஏதாவது ஒன்றைத்தான் கூட்டிலக்கமாகக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.

எ.கா. 1 : 1936 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 1+9+3+6 = 19→1+9→10 -> 1 + 0 = 1. எனவே 1936 முழுவர்க்க எண்ணாக இருக்கலாம்.
எ.கா. 2 : 4836 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 4+8+3+6 = 21 →2+1 = 3. எனவே, 4836 நிச்சயமாக முழுவர்க்க எண்ணாக இருக்க முடியாது.

குறிப்பு : 'x' என்பது ஒரு முழு மிகை எண்ணாகவும் (Whole positive number) 'n' என்பது இயல் எண்ணாகவும் (Natural number) இருப்பின், x^2n வடிவிலுள்ள எந்த எண்ணின் கூட்டிலக்கமும் 1 அல்லது 4 அல்லது 7 அல்லது 9 ஆகத்தான் இருக்கமுடியும்.

உண்மை : 8
கூட்டிலக்கத்தைப் பயன்படுத்தி ஓர் எண் முழு கனமாக (Perfect Cube) இருக்குமா, இருக்காதா என்பதை அறியலாம். ஓர் எண்ணின் கூட்டிலக்கம் 1 அல்லது 8 அல்லது 9ஆக இருப்பின், அவ்வெண் முழு கன எண்ணாக இருக்கலாம். ஆனால், நிச்சயமாக முழு கனம் எனக் கூற இயலாது. அதே நேரத்தில் கூட்டிலக்கம் 2 அல்லது 3 அல்லது 4 அல்லது 5 அல்லது 6 அல்லது 7ஆக இருப்பின், அவ்வெண் நிச்சயமாக முழு கன எண்ணாக இருக்க முடியாது எனக் கூறிவிடலாம்.

இலக்கம் கனம்

கணத்தின் கூட்டிலக்கம்

1 1 1 2 8 8 3 27 9 4 64 1 5 125 8 6 216 9 7 343 1 8 512 8 9 729 9

பூஜ்ஜியமற்ற (Non zero) எந்த எண்ணும் 1 முதல் 9 வரையிலான ஏதாவது ஒர் இலக்கத்தைக் கூட்டிலக்கமாகக் கொண்டிருக்கும். எனவே, முழு கன எண்கள் அனைத்துமே கூட்டிலக்கமாக 1, 8 மற்றும் 9 ஆகியவற்றுள் ஏதாவது ஒன்றைத்தான் கொண்டிருக்க வேண்டும்.

எ.கா. 1 : 1728 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 1+7+2+8 = 18→1+8→9. எனவே, 1728 முழு கன எண்ணாக இருக்கலாம்.

எ.கா. 2 : 7954 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 7+9+5+4 = 25 →2+5 = 7. எனவே 7954 நிச்சயமாக முழு கன எண்ணாக இருக்க முடியாது.

குறிப்பு : 'x' என்பது ஒரு முழு மிகை எண்ணாகவும் 'n' என்பது இயல் எண்ணாகவும் இருப்பின், x^3n வடிவிலுள்ள எந்த எண்ணின் கூட்டிலக்கமும் 1 அல்லது 8 அல்லது 9 ஆகத்தான் இருக்க முடியும்.

உண்மை : 9
பகா எண்களின் (Prime numbers) கூட்டிலக்கம் 3இன் மடங்காக நிச்சயமாக இருக்க முடியாது. ஏனெனில், கூட்டிலக்கம் 3 அல்லது 6 அல்லது 9ஆக இருப்பின் அவ்வெண் முழுமைக்கும் நிச்சயமாக 3ஆல் வகுபடும். எனவே, பகா எண்களின் கூட்டிலக்கம் - 1, 2, 4, 5, 7, 8 ஆகிய இலக்கங்களில் ஏதேனும் ஒன்றாகத்தான் இருக்க முடியும்.

எ.கா : 19, 11, 31, 23, 61, 53 ஆகிய பகா எண்களின் கூட்டிலக்கங்கள் முறையே 1, 2, 4, 5, 7 மற்றும் 8 ஆகும்.

- கட்டுரையாளர், போட்டித் தேர்வு பயிற்சியாளர், குளோபல் விக்கிமாஸ்டர்; தொடர்புக்கு: success.gg@gmail.com

முந்தைய அத்தியாயம் > வெல்லுங்கள் CSAT 2025 - 1: தேர்வுக்குத் தயாரா?