கணிதப் புதிர்கள் 26: மணி பார்க்கும் விளையாட்டு

பள்ளி மைதானத்தின் நடுவில் மிகப் பெரிய வட்டம் வரையப்பட்டிருந்தது. அதன் உச்சியில் ‘12' என்ற எண் எழுதப்பட்டிருந்தது. அதற்கு ஒரு பக்கத்தில் 1, 2 என எண்கள் கூடின, இன்னொரு பக்கத்தில் 11, 10 எனக் குறைந்தன, இந்த இரு வரிசைகளும் கீழே '6' என்ற எண்ணில் சென்று சேர்ந்தன.

ஆம், அது ஒரு கடிகாரம் தான். ஆனால், கையில் கட்டிக் கொள்கிற, சுவரில் மாட்டுகிற கடிகாரங்களைவிட மிகப் பெரிய, பிரம்மாண்டமான கடிகாரம், மனிதக் கடிகாரம்.

அந்தப் பள்ளியின் அறிவியல் ஆசிரியரான சுசீலாதான் இந்தக் கடிகாரத்தை வரையச் செய்திருந்தார். அதைக்கொண்டு கடிகாரத்தின் செயல்பாடுகளை மாணவர்களுக்கு விளக்கிச் சொல்லத் திட்டமிட்டிருந்தார்.

கடிகாரத்தின் நடுவில் ஒரு மேசை. அதில் இரண்டு குச்சிகள் கடிகார முட்களாகப் பொருத்தப்பட்டிருந்தன. நீண்ட குச்சி நிமிடத்தைக் காட்டியது, சிறிய குச்சி மணியைக் காட்டியது.

சிறிது நேரத்தில், அறிவியல் வகுப்பு தொடங்கியது. மாணவர்கள் அனைவரையும் மைதானத்துக்கு அழைத்துவந்தார் சுசீலா.
“எல்லாரும் கொஞ்ச நேரம் பேசாம இருங்க. இது ஒரு கடிகாரம். இது எப்படி இயங்குதுனு உங்களுக்குத் தெரியுமா?’'

“பேட்டரி போட்டா இயங்கும்.’'

“பேட்டரிங்கறது கடிகாரம் இயங்கத் தேவையான ஆற்றலைக் கொடுக்குது, அதுக்குப் பதிலாகக் கையால சாவி கொடுக்கிற கடிகாரங்கள்கூட இருக்கு. இந்த ஆற்றலைப் பயன்படுத்திக் கடிகாரம் தன்னோட முட்களை நகர்த்துது. அந்த முட்கள் எங்கே இருக்குங்கறதை வெச்சு நாம நேரத்தைத் தெரிஞ்சுக்கலாம்.'’

அடுத்து, கடிகாரத்தில் 12 எண்கள் எழுதப்பட்டிருப்பதற்கான காரணத்தையும், அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு மணி நேரத்தையோ ஐந்து நிமிடங்களையோ குறிக்கின்றன என்பதையும், சிறிய முள், பெரிய முள்ளின் இயக்கத்தையும் விவரித்தார் சுசீலா. பின்னர், வகுப்பிலிருந்த இரு மாணவர்களை அழைத்தார், ''சரவணா, நீ போய் அந்தப் பெரிய குச்சியோட முனையைப் பிடிச்சுக்கோ, வருண், நீ சின்னக் குச்சியோட முனையைப் பிடிச்சுக்கோ. ரெண்டு பேரும் 12 என்ற எண்ணுக்குப் பக்கத்துல நிக்கணும். அதாவது, சின்னக் குச்சியும் பெரிய குச்சியும் ஒண்ணு மேல ஒண்ணு பொருந்தணும். அப்போ மணி 12.'’

அவர் சொன்னபடி சரவணனும் வருணும் வட்டத்துக்குள் ஓடினார்கள். ஆளுக்கு ஒரு குச்சியைப் பிடித்துக்கொண்டு 12-ல் சென்று நின்றார்கள்.

“பெரிய குச்சியை, அதாவது, நிமிட முள்ளை வெச்சிருக்கிற சரவணன் 12லிருந்து 1என்ற இடத்துக்கு வருவான், அப்போ 5 நிமிடம் ஆகிவிட்டதாகப் பொருள். இதே மாதிரி அவன் 2, 3, 4 என்று ஒருமுறை வட்டத்தைச் சுற்றி மீண்டும் 12க்கு வந்துட்டா, 1 மணிநேரம் ஆகிவிட்டதாகப் பொருள். அப்போ சின்னக் குச்சியை, அதாவது, மணி முள்ளை வெச்சிருக்கிற வருண் 12லிருந்து 1என்ற இடத்துக்கு வருவான். இதே மாதிரி நாள் முழுக்க நம்ம கடிகாரத்தோட முட்கள் நகர்ந்துகிட்டே இருக்கும், நேரத்தைக் காட்டிக்கிட்டே இருக்கும்.'’

“ஆனா, சில கடிகாரங்கள்ல மூணு முள்ளு இருக்கே?’' என்று ஒரு மாணவர் கேட்டார்.

“உண்மைதான், அந்த மூணாவது முள்ளோட பேரு, விநாடி முள். அது மத்த ரெண்டு முட்களைவிட விரைவாகச் சுத்தும், அதைக்கொண்டு நாம விநாடிக் கணக்கைத் துல்லியமாகத் தெரிஞ்சுக்கலாம். ஆனா, நம்ம மனிதக் கடிகாரத்துல ரெண்டு முள்தான். அதை வெச்சு நாம மணியையும் நிமிடத்தையும் பார்க்கத் தெரிஞ்சுக்குவோம், வாங்க.’'

இப்போது, சரவணனும் வருணும் முட்களுடன் நகரத் தொடங்கினார்கள். அவர்களை வெவ்வேறு நிலையில் நிறுத்தி மாணவர்களுக்கு மணி பார்க்கக் கற்றுத் தந்தார் சுசீலா.

சிறிது நேரத்துக்குப் பிறகு சரவணன், வருண் இருவரும் பழையபடி 12க்கே வந்துவிட்டார்கள். இதன் மூலம் அரை நாள், அதாவது 12 மணி நேரம் நிறைவடைந்தது.

இப்போது, உங்களுக்கு ஒரு கேள்வி. இந்த 12 மணி நேரத்தில் சரவணனுடைய முள்ளும் வருணுடைய முள்ளும் எத்தனை முறை ஒன்றோடொன்று பொருந்தின? அதாவது, அரை நாளில் எத்தனை முறை கடிகார முட்கள் ஒன்றோடொன்று பொருந்துகின்றன? கணக்கிட்டுப் பாருங்களேன்!
விடை

# 12 மணி நேரம், ஆகவே, இரு முட்களும் 12 முறை ஒன்றோடொன்று பொருந்துகின்றன என்று நினைக்காதீர்கள், அது தவறான பதில்.

# வகுப்பின் தொடக்கத்தில், சுசீலா சொன்னபடி சரவணனும் வருணும் 12 என்ற இடத்தில் நின்றார்கள். அப்போது இரு முட்களும் ஒன்றோடொன்று பொருந்தின. அதன் பிறகு மறுபடி எப்போது அவை பொருந்தியிருக்கும்?

# 12-க்குப் பிறகு அவை 1-க்கு அருகில்தான் பொருந்தியிருக்க வேண்டும். அப்போது மணி முள் 1ஐத் தாண்டிச் சற்று நகர்ந்திருக்கும்; நிமிட முள்ளும் 1ஐத் தாண்டிச் சற்று நகர்ந்திருக்கும். அதாவது, மணி சுமார் 1:05.

# இதே போல் 2:10, 3:15, 4:20 ஆகிய நேரத்துக்கு அருகில் இவை ஒன்றோடொன்று பொருந்தும். இப்படியே 10:50 வரை செல்லலாம், ஆக, 12 மணியில் தொடங்கி சுமார் 10:50 வரை கடிகார முட்கள் 11 முறை ஒன்றோடொன்று பொருந்தும்.

# இதைக் கண்டறிய இன்னொரு வழியும் உண்டு. சுமார் 65 நிமிடங்களுக்கு ஒரு முறை கடிகார முட்கள் பொருந்துகின்றன என்பதை நாம் அறிகிறோம். ஆகவே, 12 மணி நேரத்தில் உள்ள 720 நிமிடங்களில் அவை எத்தனை முறை பொருந்துகின்றன என்பதை இப்படிக் கணக்கிடலாம்: 720/65=11.

- (நிறைந்தது)
என்.சொக்கன், எழுத்தாளர்
தொடர்புக்கு: nchokkan@gmail.com