கணிதப் புதிர்கள் 25: விருது பெற்றவர்கள் எத்தனை பேர்?

என். சொக்கன்

மோகனின் தந்தை பழனி ஒரு வழக்கறிஞர். அத்துடன், பல சேவை நிறுவனங்களில் முதன்மைப் பொறுப்புகளில் இருக்கிறவர். பல்லாயிரக்கணக்கானவர்கள் அவருடைய நன்கொடையாலும் உழைப்பாலும் பலன் பெற்றுள்ளார்கள்.

ஆண்டுதோறும் திருவிழா நடைபெறும். அந்தத் திருவிழாவின் போது, உள்ளூரைச் சேர்ந்த சிறந்த கலைஞர்கள், அலுவலர்கள், விளை யாட்டு வீரர்கள், ஆசிரியர்கள், சமூக சேவகர்கள், தொழிலதிபர்களுக்கு எல்லாம் விருது வழங்கிப் பாராட்டு வார்கள். இந்த ஆண்டு, பழனிக்கும் அந்த விருது கிடைத்துள்ளது.

தகவல் வெளியானதும், பழனிக்குப் பாராட்டுகள் குவிந்தன. பல பெரிய மனிதர்களும் அவருடைய வீட்டுக்கு வந்து நேரில் வாழ்த்தினார்கள்.

‘‘என்னைவிடப் பெரிய சேவை செய்கிறவர்கள் உள்ளார்கள்’ என்றார் அவர். ‘இந்த விருதுக்குத் தகுதியுள்ளவனாக நான் என்னை நினைத்துக்கொள்ளவில்லை. என்றாலும், இதைப் பார்த்து இன்னும் பலர் சேவை செய்ய முன்வருவார்கள் என்பதால் இதை ஏற்றுக்கொள்கிறேன்” என்றார்.

அவர் சொன்னது போலவே, பழனியை வாழ்த்த வந்த பலரும் அவர் செய்துவரும் சேவைப் பணிகளைப் பற்றித் தெரிந்துகொண்டு ஊக்கம் பெற்றார்கள். ‘‘நாங்களும் இந்தப் பணிகளுக்கு எங்களால இயன்ற உதவிகளைச் செய்யறோம்’’ என்று முன்வந்தார்கள்.

இதைக் கேட்டு மகிழ்ந்த பழனி தன்னுடைய சேவை அனுபவத்தின் துணையோடு அவர்களுக்கு நன்முறையில் வழிகாட்டினார். இதன்மூலம் பலரை நன்கொடை யாளர்களாக, சமூகசேவகர்களாக ஆக்கிவிட்டார்!

திருவிழாவின் நான்காம் நாள் மாலை ஆறு மணிக்கு விருது வழங்கும் விழா. விருதுக் குழுவினர் பழனியையும் மற்றவர்களையும் அன்பாக வரவேற்றார்கள்.

மோகனுக்கு வியப்பாகவும் பெருமையாகவும் இருந்தது. ‘வருங்காலத்தில் நானும் இதே விருதைப் பெறுவேன், அதற்காகக் கடினமாக உழைப்பேன்’ என்று சொல்லிக்கொண்டான்.

‘‘அந்த ரோஜாக்கூடையைக் கொண்டு வாங்க’’ என்றார் விழாத் தலைவர்.

விருது பெறுகிற ஒவ்வொருவரும் அதிலிருந்து ஒவ்வொரு ரோஜாவாக எடுத்து, மற்ற விருது பெறுவோர் அனைவருக்கும் வழங்கினார்கள். அதாவது, விருது பெறுகிற அனைவரும் மற்ற அனைவருக்கும் ரோஜாக்களை வழங்கி வாழ்த்தினார்கள்.

அதன் பிறகும் கூடையில் ரோஜாக்கள் மீதமிருந்தன. அதைச் சுட்டிக்காட்டி பழனி, ‘‘இந்தப் பூக்களை என்ன செய்யப் போறீங்க?” என்றார்.

‘‘விருது பெற்றுள்ள சிலர் இன்னும் வரலை. அவங்க வந்ததும், நீங்க எல்லோரும் இந்த ரோஜாக்களை அவங்களுக்குத் தரணும், அதேமாதிரி அவங்களும் உங்களுக்குத் தருவாங்க” என்றார் விழாத் தலைவர்.

முதல் வரிசையில் அமர்ந்திருந்த மோகன் ரோஜாக்கூடையை எட்டிப் பார்த்தான். அதற்குள்ளிருந்த பூக்களை எண்ணினான்: சரியாக 34 பூக்கள். இதற்குள், விருது பெற வேண்டிய மற்றவர்களும் வந்துவிட்டார்கள். அவர்களும் மேடை ஏறினார்கள்.

உடனே, ரோஜாக்கூடை மேடைக் குச் சென்றது. புதிதாக வந்தவர்கள் மற்றவர்களுக்கு ரோஜாப்பூக்களை வழங்கினார்கள். அவர்களும் இவர்களுக்கு ரோஜாப்பூக்களை வழங்கினார்கள். கூடை காலியாகிவிட்டது, விழா சிறப்பாகத் தொடங்கியது.

இப்போது, உங்களுக்கு ஒரு கேள்வி: அன்றைய விழாவில் விருது பெற்றவர்கள் மொத்தம் எத்தனை பேர்?

விடை:

* விருது பெறுவோரில் பெரும்பாலானோர் விழா தொடங்குவதற்கு முன்பாகவே வந்துவிட்டார்கள். இவர்களுடைய எண்ணிக்கையை X என்று வைத்துக்கொள்வோம்
* இவர்கள் அனைவரும் மற்ற அனைவருக்கும் ஆளுக்கு ஒரு ரோஜா தந்துள்ளார்கள். அதாவது, ஒவ்வொருவரும் X-1 ரோஜாக்களை வழங்கியுள்ளார்கள். இவர்கள் வழங்கிய மொத்த ரோஜாக்களின் எண்ணிக்கை X*(X-1)
* சிறிது நேரத்தில், விருதுபெறுகிற இன்னும் சிலர் வந்துசேர்ந்தார்கள். இவர்களுடைய எண்ணிக்கையை Y என்று வைத்துக்கொள்வோம்
* ஆக, விருது பெறுவோரின் மொத்த எண்ணிக்கை X+Y
* இவர்கள் அனைவரும் மற்ற அனைவருக்கும் ஆளுக்கு ஒரு ரோஜா தந்துள்ளார்கள். அதாவது, ஒவ்வொருவரும் X+Y-1 ரோஜாக்களை வழங்கியுள்ளார்கள். இவர்கள் வழங்கிய மொத்த ரோஜாக்களின் எண்ணிக்கை (X+Y)*(X+Y-1)
* இந்த இரு நிகழ்வுகளுக்கும் நடுவில், அதாவது, மோகன் ரோஜாக்கூடையை எட்டிப் பார்த்தபோது அதில் 34 ரோஜாக்கள் இருந்தன. ஆக, X(X-1)+34=(X+Y)*(X+Y-1) X^2-X+34=X^2+XY+XY+Y^2-X-Y

இருபுறமும் உள்ள X^2-X நீக்கப்பட்டுவிடும்:

34=Y^2+2XY-Y
34=Y(Y+2X-1)

இதில் Y என்பது தாமதமாக வந்தவர்களுடைய எண்ணிக்கை. அது ஒரு முழு எண்ணாக மட்டும்தான் இருக்க இயலும். ஆகவே, நாம் 34 ஐ இரண்டு முழு எண்களுடைய பெருக்குத்தொகையாகப் பிரித்துப் பார்க்க வேண்டும். அப்படிச் சிந்திக்கும்போது, நமக்கு இரு விதமான விடைகள் வருகின்றன: 1x34, 2x17.

ஆக, Yன் மதிப்பு 1 அல்லது 2ஆக இருக்கலாம். ‘விருது பெற்றுள்ள சிலர் இன்னும் வரலை’ என்று விழாத் தலைவர் பன்மையில் குறிப்பிடப்பட்டிருப்பதால், Yன் மதிப்பு 1ஆக இருக்க இயலாது, 2ஆகதான் இருக்க வேண்டும்.

அப்படியானால், Y+2X-1=17
2+2X-1=17
2X=16
X=8
அப்படியானால், விருது பெற்றவர்கள் மொத்தம் 10 பேர். அதில் 8 பேர் முதலில் வந்தார்கள், 2 பேர் பின்னர் வந்தார்கள்.

(அடுத்த வாரத்துடன் நிறைவடைகிறது.)

கட்டுரையாளர், எழுத்தாளர்

தொடர்புக்கு: nchokkan@gmail.com