கணிதப் புதிர்கள் 17: பழக்கத்தை எப்படி விடலாம்?

என். சொக்கன்

குணாலின் அப்பாவுக்குப் பாக்குப் போடும் வழக்கம் இருந்தது. குணாலும் அவன் அம்மாவும் இந்தப் பழக்கத்தை விட்டுவிடச் சொல்லி எவ்வளவோ கேட்டுப் பார்த்தார்கள். அவரால் பாக்கை விட முடியவில்லை. ”அப்பா, பாக்கு அதிகமாகச் சாப்பிட்டால் நல்லதில்லை. அதுவும் ஒரு நாளைக்கு எக்கச்சக்கமான பாக்குப் பொட்டலங்களைப் போடறீங்க” என்று வருத்தத்துடன் சொன்னான் குணால்.

அன்புச்செல்வனுடைய இந்தப் பழக்கத்தை மாற்றிவிட வேண்டும் என்று பலரும் பலவிதமாக முயன்றிருக்கிறார்கள். புற்றுநோய் வரும் ஆபத்தை விளக்கியிருக்கிறார்கள். எதுவும் அவருடைய பழக்கத்தை நிறுத்திவிடவில்லை.

குணாலின் பிடிவாதத்தால் சில முறை பாக்குப் போடும் பழக்கத்தை விட்டுவிட முயன்றிருக்கிறார் அன்புச்செல்வன். ஆனால், ஒரு சில நாட்கள் மட்டுமே அவரால் பாக்கு இன்றி தாக்குப்பிடிக்க முடிந்திருக்கிறது. மீண்டும் பாக்குப் போட ஆரம்பித்துவிடுவார். குணால் தன் அப்பாவைப் பற்றி நண்பனிடம் வருத்தப்பட்டுக்கொண்டிருந்தான்..

“கவலைப்படாதே குணால். என் மாமா மருத்துவராக இருக்கிறார். அவரிடம் போனால் நிச்சயம் உங்க அப்பாவுக்கு உதவுவார்” என்றான் விஷால். குணாலுக்கு நம்பிக்கை வந்தது. மறுநாளே அவன் அப்பாவுடன் மருத்துவரைச் சந்தித்தான். விஷாலின் நண்பன் என்றவுடன் மிகவும் அன்பாகப் பேசினார் மருத்துவர்.

‘‘ஒண்ணும் கவலைப்பட வேண்டாம். இந்தப் பழக்கத்தை எளிதா நிறுத்திடலாம். இப்ப வாரத்துக்கு எத்தனை பொட்டலம் போடறீங்க?” என்று கேட்டார். அன்புச்செல்வன் சற்று யோசித்து விட்டு ஒரு பெரிய எண்ணைச் சொன்னார். ‘‘ஐயோ... நீங்க கேட்கும்போதுதான் இவ்வளவு பாக்குப் பொட்டலங்களைச் சாப்பிடறேனு எனக்கே தெரியுது” என்று திகைத்தார்.

மருத்துவர் சிரித்தார். ”எந்தப் பழக்கத்தையும் ஒரே நாள்ல நிறுத்தறது சிரமம். ஆனா, கொஞ்சம்கொஞ்சமாக் குறைச்சு, கடைசியில் விட்டுடலாம். நான் சொல்ற ஆலோசனைகளை எல்லாம் நீங்க ஒழுங்கா பின்பற்றணும், வாராவாரம் பாக்குப் பொட்டலங்களின் எண்ணிக்கையைக் குறைச்சுக்கணும்.”
”எவ்ளோ குறைக்கணும்?”

”இப்ப உங்க கைவசம் எவ்வளவு பாக்கு பொட்டலங்கள் இருக்கு?’
அன்புச்செல்வன் யோசித்துவிட்டு, ”204 இருக்கு” என்றார். ”இந்த வாரம் நீங்க வழக்கம்போல பாக்குப் போடலாம், ஆனால், அடுத்த வாரம், 7 பாக்குப் பொட்டலங்களைக் குறைச்சுக்கோங்க. இதே மாதிரி அடுத்தடுத்த வாரங்களில் இன்னும் 7 பொட்டலங்களைக் குறைக்கணும். இப்படியே போனா, ஒரு குறிப்பிட்ட வாரத்துல நீங்க ஒரே ஒரு பொட்டலம்தான் சாப்பிடுவீங்க. அதுக்கு அடுத்த வாரத்திலேருந்து இந்தப் பழக்கத்தை நிரந்தரமா விட்டுடுவீங்க” என்றார் மருத்துவர்.

அன்புச்செல்வன் அவரை நம்ப முடியாமல் பார்த்தார். ”நிஜமாவா சொல்றீங்க?”
ஆமாம் என்று சிரித்தார் மருத்துவர். ”நம்பிக்கையோட இதில் இறங்குங்க, நான் சொல்றதை எல்லாம் பின்பற்றுங்க, உங்க எதிர்காலம் வெளிச்சமா இருக்கும். இந்த 204 பாக்கெட்டைச் சாப்பிட பிறகு, உங்களுக்கு இந்தப் பழக்கமே இருக்காது. நான் உறுதியாகச் சொல்றேன்.”அன்புச்செல்வனுக்கு மருத்துவர் சொன்ன விஷயங்களே நினைவுக்கு வந்தன. அவர் பாக்குப் போடும் வழக்கத்தை மாற்றிக்கொள்ளவில்லை. வழக்கமான அளவில் சாப்பிட்டார்.

ஒரு வாரம் சென்றது, அன்புச் செல்வன் தன்னுடைய பொட்டலங்களின் எண்ணிக்கையில் 7ஐக் குறைத்துக் கொண்டார். அவருக்கு அது ஒரு பெரிய சிரமமாகத் தெரியவில்லை. கொஞ்சம்கொஞ்சமாகப் பாக்குப் பொட்டலங்களின் எண்ணிக்கையைக் குறைத்தார், ஒரு குறிப்பிட்ட வாரத்தில் அவரிடம் 1 பொட்டலம்தான் மீதமிருந்தது.

3அதைச் சாப்பிட்டுவிட்டு, இந்தப் பழக்கத்துக்கு முற்றுப்புள்ளி வைத்தார். குடும்பத்தினருடன் மகிழ்ச்சி யாகவும் உடல்நலத்துடனும் வாழ்ந்தார். இப்போது, உங்களுக்கு ஒரு கேள்வி: அன்புச்செல்வன் பாக்குப் போடும் பழக்கத்தை விடுவதற்கு மொத்தம் எத்தனை வாரங்கள் தேவைப்பட்டன?

விடை:

* முதல் வாரத்தில் அன்புச்செல்வன் X பொட்டலங்களைச் சாப்பிட்டார் என்று வைப்போம். இரண்டாவது வாரத்தில் X-7, மூன்றாவது வாரத்தில் X-14 என்று இந்த எண்ணிக்கை குறைந்துகொண்டே வந்தது.
* கணிதத்தில் இவ்வாறு சீராகக் குறை கிற அல்லது அதிகரிக்கிற எண்களைக் கூட்டுத் தொடர் (Arithmetic Progression) என்பார்கள்.
* அன்புச்செல்வன் ’Y’ வாரங்களில் பாக்குப் போடும் பழக்கத்தை நிறுத்திவிட்டார் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அந்த ’Y’-வது வாரத்தில் அவர் ஒரே ஒரு பொட்டலத்தைத்தான் சாப்பிட்டிருக்கிறார். அதாவது, X (ஆரம்பத்தில் சாப்பிட்ட பொட்டலங்கள்) - 7(Y - 1) (அடுத்த Y-1 வாரங்களில் வாரத்துக்கு 7ஆக அவர் குறைத்த பொட்டலங்களின் எண்ணிக்கை) = 1
X - 7Y + 7 = 1
X - 7Y = -6
X = 7Y-6
அவர் சாப்பிட்ட மொத்த பொட்டலங்களின் எண்ணிக்கை 204. Arithmetic Progression-ல் வரும் அனைத்து எண்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம்: மொத்த எண்கள்/2 (தொடக்க எண் + கடைசி எண்)
இங்கு மொத்த எண்கள் = Y, தொடக்க எண் = X, கடைசி எண் = 1. ஆக:
Y/2 (X + 1) = 204
Y(X+1) = 408
Y(7Y-6+1) = 408
Y(7Y-5)=408
இந்தக் கணக்கைத் தீர்த்தால்: X = 50, Y = 8 என்று வரும். அதாவது, ஆரம்பத்தில் அன்புச்செல்வன் வாரந்தோறும் 50 பொட்டலங் களைச் சாப்பிட்டுக்கொண்டி ருந்தார், அடுத்த ஏழு வாரங்களில் அதை 43, 36, 29, 22, 15, 8 என்று கொஞ்சம்கொஞ்சமாகக் குறைத்தார், 8-வது வாரத்தில் 1 என்ற எண்ணிக்கைக்கு வந்தார். அத்துடன் 204 பொட்டலங்கள் தீர்ந்துவிட்டன; அவரும் பாக்குப் போடும் பழக்கத்தை நிறுத்திவிட்டார்.

(அடுத்த வாரம், இன்னொரு புதிர்)
கட்டுரையாளர், எழுத்தாளர்
தொடர்புக்கு: nchokkan@gmail.com