கணிதப் புதிர்கள்: சிவப்பா? பச்சையா? சிவப்பும் பச்சையுமா?

என். சொக்கன்

உங்களுக்கு ‘பென்சில்’ பழனிச்சாமியைத் தெரியுமா?
‘பென்சில்’ என்ற அடைமொழியைப் பார்த்து அவரை ஒல்லியானவர் என்று நினைத்துவிடாதீர்கள். அவர் ஒரு பென்சில் தொழிற்சாலை நடத்துவதால், ‘பென்சில்’ பழனிச்சாமி என்று அழைக்கத் தொடங்கிவிட்டார்கள்.

பழனிச்சாமி கடும் உழைப்பாளி. தரமான பென்சில்களைத் தயாரிப்பவர். தன்னுடைய ஊழியர்களுக்கு நியாயமான சம்பளமும் வசதிகளும் கொடுத்திருப்பவர். சமூகத்துக்கு நல்ல பணிகளையும் செய்துவருகிறார்.

அன்றைக்குப் பழனிச்சாமிக்கு ஒரு மின்னஞ்சல் வந்திருந்தது. அமெரிக்காவிலிருந்து ஒரு வாடிக்கையாளர் மூன்று லட்சம் பென்சில்களைக் கேட்டு எழுதியிருந்தார், அதற்கான முன்பணமும் அனுப்பியிருந்தார்.

இந்த மூன்று லட்சம் பென்சில்களில் சரி பாதி, அதாவது, ஒன்றரை லட்சம் பென்சில்கள் சிவப்பு வண்ணத்தில் இருக்க வேண்டும், மீதமுள்ள ஒன்றரை லட்சம் பென்சில்கள் பச்சை வண்ணத்தில் இருக்க வேண்டும் என்று அந்த வாடிக்கையாளர் கோரியிருந்தார்.

உடனே, பழனிச்சாமி அந்த மின்னஞ்சலுக்குப் பதில் எழுதினார். ‘நீங்கள் சொன்னபடி மூன்று லட்சம் பென்சில்களைத் தயார் செய்துவிடுகிறோம். அவற்றை எங்கு, எப்படி அனுப்ப வேண்டும் என்று தெரிவியுங்கள்.’

இந்த மின்னஞ்சலுக்கு அன்று மாலையே பதில் வந்துவிட்டது, ‘இந்த பென்சில்கள் மூன்று வெவ்வேறு முகவரிகளுக்குச் செல்ல வேண்டும். அந்தத் தகவல்களைக் கீழே கொடுத்திருக்கிறோம், அதன்படி அனுப்பிவிடுங்கள்’ என்று எழுதியிருந்தார் அந்த வாடிக்கையாளர்.

‘பென்சில்களை மூன்று பெரிய பெட்டிகளில் அடுக்கிவிடுங்கள். முதல் பெட்டியில் ஒரு லட்சம் சிவப்பு பென்சில்கள் இருக்க வேண்டும். இரண்டாவது பெட்டியில் ஒரு லட்சம் பச்சைப் பென்சில்கள் இருக்க வேண்டும். மூன்றாவது பெட்டியில் ஐம்பதாயிரம் சிவப்பு பென்சில்களும் ஐம்பதாயிரம் பச்சை பென்சில்களும் இருக்க வேண்டும். ஒவ்வொரு பெட்டியின்மீதும் அதில் இருப்பது என்ன வகை பென்சில் என்பதைப் பெரிய எழுத்துகளில் அச்சிட்டு ஒட்ட வேண்டும்.’
பழனிச்சாமியின் பென்சில் தொழிற்சாலை சுறுசுறுப்பானது.

அடுத்த சில நாட்களில், மூன்று லட்சம் பென்சில்கள் தயாராகிவிட்டன. வாடிக்கையாளர் சொன்னபடி அவை மூன்று பெட்டிகளில் அடுக்கப்பட்டன. ஒவ்வொரு பெட்டியிலும் என்ன வகை பென்சில் உள்ளது என்பதை இப்படி அச்சிட்டு ஒட்டினார்கள்: சிவப்பு மட்டும், பச்சை மட்டும், சிவப்பும் பச்சையும்.
இன்று மாலை ஐந்து மணிக்கு, பென்சில்களைத் துறைமுகத்துக்குக் கொண்டு செல்லும் வாகனம் வரப்போகிறது. அதில் மூன்று பெட்டிகளையும் ஏற்றிவிட்டு, வாடிக்கையாளருக்கு மின்னஞ்சல் அனுப்ப வேண்டும்.

சரியாக நான்கு மணிக்கு, பழனிச்சாமியின் அறைக்குள் ஓர் ஊழியர் ஓடிவந்தார். ‘‘சார், ஒரு பெரிய பிரச்சினை” என்றார். பதற்றத்துடன் எழுந்தார் பழனிச்சாமி.

‘‘மூணு பெட்டியிலயும் சிவப்பு மட்டும், பச்சை மட்டும், சிவப்பும் பச்சையும்னு எழுதி ஒட்டச் சொன்னீங்கதானே?”
‘‘ஆமா, அதுக்கென்ன?”
‘‘நீங்க சொன்னபடி ஒட்டிட்டோம். ஆனால், ஒட்டும்போது தாள்கள் மாறிப் போச்சு. அதாவது, மூணு பெட்டியிலயும் இருக்கிற பென்சில்களோட வண்ணம் வேற, ஒட்டியிருக்கிற தாளில் இருக்கிற வண்ணம் வேற.”

‘‘அதனால் என்ன? தாள்களைப் பிரிச்சுச் சரியா ஒட்டிடுங்களேன்.”
‘‘நாங்களும் அதைத்தான் நினைச்சோம், ஆனால், எந்தப் பெட்டியில என்ன பென்சில் இருக்குனு எங்களுக்குத் தெரியலை. ஒரு பெட்டியைப் பிரிச்சுப் பார்த்துட்டுத் திரும்பப் பாதுகாப்பா மூடறதுக்கு முக்கால் மணி நேரமாவது ஆகும். இப்படிக் குறைஞ்சது ரெண்டு பெட்டிகளையாவது பிரிச்சால்தான் தாள்களைச் சரியாகக் கண்டுபிடிச்சு ஒட்ட முடியும். ஐந்து மணிக்குள்ள இதைச் செய்ய முடியாது.”
பழனிச்சாமி சிறிது யோசித்தார். பின்னர், ‘‘மூணு பெட்டியிலயும் தாள்கள் தப்பா இருக்குனுதானே சொன்னீங்க?” என்றார். ‘‘ஆமாம்.”

‘‘இந்தப் பிரச்சினையை எளிதாகத் தீர்த்துடலாம். நான் சொல்றபடி செஞ்சா, ஒரே ஒரு பெட்டியைப் பிரிச்சுப் பார்த்துட்டுத் திரும்ப மூடினால் போதும், ஐந்து மணிக்கு வண்டி வர்றதுக்குள்ள மூணு பெட்டியிலயும் தாள்களைச் சரியா ஒட்டிடலாம்.”
பழனிச்சாமி சொன்ன யோசனை என்ன? மூன்றில் ஒரே ஒரு பெட்டியைப் பிரித்துப் பார்த்துவிட்டு, அதன்மூலம் மூன்று பெட்டிகளில் இருக்கிற தாள்களையும் சரியாக ஒட்டுவது எப்படி? யோசியுங்கள்.

விடை:

ஒரு வசதிக்காக, பெட்டிகளை 1, 2, 3 என்று குறிப்போம். அவை ஒவ்வொன்றிலும் இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:
1: சிவப்பு மட்டும்
2: பச்சை மட்டும்
3: சிவப்பும் பச்சையும்
முதலில், 3-வது பெட்டியை எடுத்துக்கொள்வோம். அதில் ‘சிவப்பும் பச்சையும்’ என்று எழுதப்பட்டுள்ளது. அதைத் திறப்போம், அதிலிருந்து ஒரே ஒரு பென்சிலை மட்டும் எடுத்துப் பார்ப்போம். அது சிவப்பாகவோ பச்சையாகவோ இருக்கும்.

ஒருவேளை, அந்த பென்சில் சிவப்பாக இருந்தால், 3-வது பெட்டியில் முற்றிலும் சிவப்பு பென்சில்கள் உள்ளன என்று பொருள். ஏனெனில், அதில் ‘சிவப்பும் பச்சையும்’ என்று எழுதப்பட்டிருப்பது தவறு என்று நமக்கு ஏற்கெனவே தெரியும்.
இப்போது, இரண்டாவது பெட்டிக்கு வருவோம். அதில் ‘பச்சை மட்டும்’ என்று எழுதப்பட்டுள்ளது. அது தவறு என்பது நமக்குத் தெரியும். ஆகவே, அதில் அனைத்தும் சிவப்பாக இருக்க வேண்டும், அல்லது, சிவப்பும் பச்சையும் கலந்து இருக்க வேண்டும்.

அதேநேரம், இந்தப் பெட்டியில் உள்ள பென்சில்கள் அனைத்தும் சிவப்பாக இருக்க வாய்ப்பில்லை, ஏனெனில், 3-வது பெட்டியில் சிவப்பு பென்சில்கள் மட்டும் உள்ளன என்பதை நாம் ஏற்கெனவே கண்டறிந்துவிட்டோம். ஆக, 2-வது பெட்டியில் சிவப்பு பென்சில்களும் பச்சை பென்சில்களும் கலந்து உள்ளன.
மீதமிருப்பது முதல் பெட்டி, அதில் பச்சை பென்சில்கள் மட்டும் உள்ளன. ஆக, தாள்களை இப்படி மாற்றி ஒட்டவேண்டும்:
1: பச்சை மட்டும்
2: சிவப்பும் பச்சையும்
3: சிவப்பு மட்டும்
ஒருவேளை, 3-வது பெட்டியைத் திறந்து நீங்கள் எடுத்த பென்சில் பச்சையாக இருந்தால், இதே அலசலை வேறுவிதமாகச் செய்ய வேண்டும், அப்போது விடை இவ்வாறு அமையும்:
1: சிவப்பு மட்டும்
2: சிவப்பும் பச்சையும்
3. பச்சை மட்டும்

(அடுத்த வாரம், இன்னொரு புதிர்)
கட்டுரையாளர், எழுத்தாளர்
தொடர்புக்கு: nchokkan@gmail.com

ஓவியம்: கிரிஜா