டி.என்.பி.எஸ்.சி குரூப் 1 தேர்வு பயிற்சிக்கான எளிய முறை குறிப்புகள் - பகுதி 14

புள்ளியியல்
எளிய முறை குறிப்புகள்

'டி.என்.பி.எஸ்.சி குரூப்-1’ தேர்வுப் பயிற்சிக்கான எளிய முறைக் குறிப்புகள் தொடரில் இன்றைய 14ஆம் பகுதியில் புள்ளியியல் (statistics) சம்பந்தமான முக்கிய குறிப்புகளை காணலாம்.

சராசரி, இடைநிலை, முகடு

கொடுத்துள்ள தொடரின் சராசரி, இடைநிலை மற்றும் முகடு (mean, median and mode) காண்பதற்கான வழியைக் கீழ்க்கண்டவாறு மனதில் கொள்ளலாம்.

சராசரி = தொடரின் கூடுதல் ÷ தொடரில் உள்ள உறுப்புக்களின்
எண்ணிக்கை

இடைநிலை காண முதலில் உறுப்புகளை ஏறுவரிசை அல்லது இறங்குவரிசையில் எழுதிக்கொள்ள வேண்டும்.
உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை ஓற்றைப்படையாக இருப்பின் ஏறு/இறங்கு வரிசையில் ஒரு மைய உறுப்புதான் இருக்கும். அதாவது மொத்தம் N உறுப்புகள் இருப்பின்
{(N+1)/2} ஆவது உறுப்பே கொடுத்துள்ள தொடரின் இடைநிலையாகும்.

உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை இரட்டைப்படையாக இருப்பின் ஏறு/இறங்கு வரிசையில் இரு மைய உறுப்புகள் இருக்கும். அவ்விரு உறுப்புகளின் சராசரியே கொடுத்துள்ள தொடரின் இடைநிலையாகும். அதாவது மொத்தம் N உறுப்புகள் இருப்பின்
(N/2) மற்றும் {(N/2) +1} வது உறுப்புகள் மைய உறுப்புகளாகும்.

கொடுத்துள்ள தொடரில் எந்த உறுப்பு அதிக முறைகள் திரும்பத் திரும்ப வந்துள்ளதோ அதுவே முகடாகும்.

நிகழ்தகவு

நிகழ்தகவு(p) = குறிப்பிட்ட நிகழ்வுக்கான வாய்ப்புகளின் எண்ணிக்கை ÷ மொத்த வாய்ப்புகளின் எண்ணிக்கை
ஒரு கூடையில் பச்சை நிறப் பந்துகளின் எண்ணிக்கை 'm' , சிவப்பு நிறப் பந்துகளின் எணிக்கை 'n' என்றால் ஒரு பச்சை நிறப் பந்தை எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு = {m/(m + n)}
ஒரு சிவப்பு நிறப் பந்தை எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு
= {n/(m + n)}.
0<=p<=1 ; முடியாத நிகழ்ச்சி(impossible event)யின் நிகழ்தகவு = 0;
நிச்சயமான நிகழ்ச்சி(sure event)யின் நிகழ்தகவு = 1
ஒற்றைப்படை எண்களின் கணத்தில் ஒரு இரட்டைப்படை எண்ணை கண்டறிவதற்கான
நிகழ்தகவு = 0
ஒற்றைப்படை எண்களின் கணத்தில் ஒரு ஒற்றைப்படை எண்ணை கண்டறிவதற்கான
நிகழ்தகவு = 1

நாணயமும் நிகழ்தகவும்

ஒரு சரியான நாணயத்தை சுண்டும்போது கிடைக்கும் நிகழ்வுகள் : 1. தலை விழுவது
2. பூ விழுவது. மொத்த நிழ்வுகள் இரண்டு. தலையை H, பூவை T என எடுத்துக்கொள்ளலாம். இரு நிகழ்வுகளுமே சம வாய்ப்பு உடையவை.
தலை விழுவதற்கான நிகழ்தகவு = பூ விழுவதற்கான நிகழ்தகவு
= 1/2
இரு சரியான நாணயங்களைச் சுண்டும்போது கிடைக்கும் நிகழ்வுகள் : 1. தலை விழாமலிருப்பது (TT)
2. சரியாக ஒரு தலை விழுவது(HT, TH)
3. சரியாக இரு தலைகளும் விழுவது(HH).
மொத்த நிகழ்வுகள் HH, HT, TH, TT- நான்காக இருந்தாலும் மூன்று பிரிவுகளாக பிரித்துக்கொள்ளலாம்.
தலை விழாமலிருக்க நிகழ்தகவு = 1/4
சரியாக ஒரு தலை விழுவதற்கான நிகழ்தகவு = 2/4
= 1/2
சரியாக இரு தலைகளும் விழுவதற்கான நிகழ்தகவு = 1/4
குறைந்தபட்சம் ஒரு தலை விழுவதற்கான நிகழ்தகவு = 3/4
(HT, TH, HH)
அதிகபட்சம் ஒரு தலை விழுவதற்கான நிகழ்தகவு = 3/4
(TT, HT, TH, )

இதே போன்று மூன்று நாணயங்களைச் சுண்டும்போது 8 நிகழ்வுகளும் (HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT), நான்கு நாணயங்கள சுண்டப்படும்போது 16 நிகழ்வுகளும், பொதுவாக
'n' நாணயங்கள சுண்டும்போது 2^n நிகழ்வுகளும் இருக்கும்.

விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள், சார்பற்ற நிகழ்ச்சிகள்

இரு நிகழ்வுகள் ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகளாக(mutually exclusive) இருப்பின் அவ்விரண்டு நிகழ்ச்சிகளின் கணங்களின் வெட்டுகணம் வெற்றுகணமாகும். அதாவது A, B என்பன இரு நிழ்ச்சிகள் எனில்
AnB ஒரு வெற்று கணமாகும்.
ஒரு நிகழ்ச்சியின் நிகழ்வு மற்றொரு நிகழ்ச்சியின் நிகழ்வை கட்டுப்படுத்தாமல் இருந்தால் அவ்விரு நிகழ்ச்சிகளும் சார்பற்ற நிகழ்ச்சிகளாகும்(independent events). புள்ளியியலில் AuB (A or B)ஐ A + B எனவும் AnB (A and B)ஐ AB எனவும் குறிப்பார்கள். பொதுவாக
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)
A,B என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகளாயின் P(AB) = 0.
A, B என்பன சார்பற்ற நிகழ்ச்சிகளாயின்
P(AB) = P(A).P(B)
A, B மற்றும் C என்பன ஒன்றுக்கொன்று சார்பற்ற நிகழ்ச்சிகளாயின்
P(ABC) = P(A).P(B).P(C)
எனவே
A,B என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகளாயின்
P(A + B) = P(A) + P(B)
A,B மற்றும் C என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகளாயின்
P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)
A, B என்பன சார்பற்ற நிகழ்ச்சிகளாயின்
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A).P(B)
A,B மற்றும் C என்பன ஏதேனும் மூன்று நிகழ்ச்சிகளாயின்
P(A + B +C) = P(A) + P(B) + P(C)
- P(AB) - P(BC) - P(CA) + P(ABC)

பகடையும் நிகழ்தகவும்

ஒரு பகடையை உருட்டும் போது கிடைக்கும் நிகழ்வுகள் ஆறு :
1, 2, 3, 4, 5, 6
6 கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு
= 1/6
இரட்டைப்படை எண் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு = 3/6 = 1/2.
மூன்றின் மடங்கு(3அல்லது6) கிடைக்க நிகழ்தகவு =2/6 = 1/3.
இரு பகடைகள் உருட்டும்போது கிடைப்பதற்கான நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை 6 × 6 = 36.
இரு பகடைகளிலும் ஒரே எண் (doublet) விழுவதற்கான நிகழ்தகவு = 6/36 = 1/6.
{நிகழ்வுகள்: (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6)}

இரு பகடைகளிலும் கிடைக்கும் எண்களின் கூட்டு 10 என்று வருதற்கான நிகழ்வுகள்
(4,6) (5,5) (6,4)
அதற்கான நிகழ்தகவு = 3/36
= 1/12

இரு பகடைகளிலும் கிடைக்கும் எண்களின் குறைந்தபட்ச கூட்டு 10 என்று வருதற்கான நிகழ்வுகள்
(4,6) (5,5) (6,4) (5,6) (6,5) மற்றும்(6,6).
இதற்கான நிகழ்தகவு = 6/36 = 1/6

சீட்டுக் கட்டும் நிகழ்தகவும்

52 சீட்டுகளைக் கொண்ட ஒரு சீட்டுக் கட்டில் ஒரு சீட்டு எடுக்கப்படுகிறது
அச்சீட்டு ராஜாவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு = 4/52 = 1/13. (ஒரு சீட்டுக் கட்டில் நான்கு ராஜாக்கள் உள்ளன).

ஒரே நேரத்தில் ஒவ்வொன்றாக இருசீட்டுகள் எடுக்கப்பட்டு அவ்விரு சீட்டுகளும் ராஜாக்களாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு = (4/52)(3/51)
= (1/13)(1/17) = 1/221.

முதலில் ஒரு சீட்டு எடுக்கப்பட்டு அது ராஜாவாக இருந்து பின் அச்சீட்டை சீட்டுகட்டுடன் சேர்த்து மீண்டும் ஒரு சீட்டு எடுக்கப்பட்டு அதுவும் ராஜாவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு = (4/52)(4/52)
= (1/13) (1/13) = 1/169.

ஒரே நேரத்தில் இருசீட்டுகள் ஒவ்வொன்றாக எடுக்கப்பட்டு அவ்விரு சீட்டுகளில் ஒன்று ராஜாவாகவும் மற்றொன்று ராணியாகவும் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு
= 2(4/52)(4/51)
= (2/13)(4/51) = 8/663.

இங்கு முதலில் ராஜாவும் அடுத்து ராணியும் அல்லது
முதலில் ராணியும் அடுத்து ராஜாவும் வர வாய்ப்பு உள்ளதால் 2 ஆல் பெருக்கப்பட்டுள்ளது.

52 சீட்டுகள் கொண்ட ஒரு சீட்டுக் கட்டில் ஒரு சீட்டு எடுக்கப்படுகிறது
அச்சீட்டு எண்சீட்டாக இருபதற்கான நிகழ்தகவு = 36/52 = 9/13.

52 சீட்டுகள் கொண்ட ஒரு சீட்டுக் கட்டில் ஒரு சீட்டு எடுக்கப்படுகிறது
அச்சீட்டு கருப்புக் குறி கொண்ட சீட்டாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு = 26/52 = 1/2.

52 சீட்டுகள் கொண்ட ஒரு சீட்டுக் கட்டில் ஒரு சீட்டு எடுக்கப்படுகிறது
அச்சீட்டு கருப்புக் குறிகொண்ட எண் 8 ஆக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு = 2/52 = 1/26.

மேற்கூறிய எளிய குறிப்புகளை நன்கு மனதில் நிறுத்தி பல கணக்குகளை செய்து பழகுவது அனைத்து போட்டித் தேர்வுகளுக்கும் நிச்சயமாக பயனுள்ளதாக அமையும் என்பதில் எவ்வித ஐயமுமில்லை.

தொகுப்பு - ஜி.கோபாலகிருஷ்ணன், போட்டித்தேர்வு பயிற்சியாளர், குளோபல் விக்கிமாஸ்டர்
முந்தைய பகுதி - https://www.hindutamil.in/news/supplements/thisai-katti/885308-tnpsc-group-1-simple-notes-for-preparation-part-13-6.html

அடுத்த பகுதி அக்டோபர் 26 (புதன்கிழமை) அன்று வெளியிடப்படும்