பாதுகாவலராய் பகா எண்கள்: கணிதம் அறிவோம்

பள்ளிகளின் கணித வகுப்புகளில் 1,2,3,4,………………………….. என்பவை இயல் எண்கள் என்றும் இதில் சில எண்களுக்கு ஒன்று மற்றும் அதே எண்ணைத்தவிர வேறு காரணிகள் இல்லையெனில் அந்த எண்கள் பகா எண்கள் அல்லது முதன்மை எண்கள் (Prime numbers) என்றும் மற்ற எண்கள் அதாவது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட காரணிகளை உடைய எண்கள் பகு எண்கள் அல்லது கலப்பின எண்கள்(Composite Numbers) என்றும் கற்பிக்கப்படுகிறது.

பகா எண்கள் : 2,3,5,7,11,13,17,………………………………….

பகு எண்கள் : 4,6,8,9,10,……………………………………………

பல சுவாரஸ்யமான தகவல்கள் இந்தப் பகாஎண்களின் பின்னால் மறைந்துள்ளன.

பகா எண்களின் எண்ணிக்கை

இயல் எண்களில் எண்ணற்ற பகா எண்கள் உள்ளன. பகா எண்களின் எண்ணிக்கையை நிர்ணயிப்பது என்பது பிரபஞ்சத்தின் எல்லையைக் காண்பது போன்றது. மாபெரும் பகா எண்களைக் கண்டறிவது அவ்வளவு எளிதல்ல. அதற்குக் கடின உழைப்பும் நீண்ட காலமும், அதிசக்தி வாய்ந்த கணினிகளும் மென்பொருளும் தேவை.

பகா எண்களில் பரவல்

இயல் எண்களில் பகா எண்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் தொடர்ந்து அமையவில்லை. உதாரணமாக 2 மற்றும் 3 க்கும் இடைவெளி ஒன்று, 5க்கும் 7க்கும் இடைவெளி இரண்டு, 23க்கும் 29க்கும் இடைவெளி 6. இயல் எண்களின் ஊடே மேலே செல்லச் செல்லப் பகா எண்களின் எண்ணிக்கை குறைவாகவும் அவ்வெண்களுக்கு இடையேயான இடைவெளி அதிகமாகவும் உள்ளது.

பகா எண்களின் சிறப்பு

1) ஒன்று என்ற எண் பகு எண்ணோ அல்லது பகா எண்ணோ அல்ல.

2) ஒரே இரட்டை படை பகா எண் 2 மட்டுமே.

3) தொடர்ச்சியாக அடுத்தடுத்த எண்கள் பகா எண்களாக அமைந்தவை 2,3 மட்டுமே.

4) (5,7),(11,13),(17,19)………இது போன்ற இரட்டைகள் இரட்டை பகா எண்கள் எனப்படுகின்றன. அதாவது அடுத்தடுத்த பகா எண்களுக்கிடையேயான இடைவெளி 2 ஆக இருக்கும்.

5) எந்த ஒரு இயல் எண்ணையும் பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையாக எழுத இயலும். 15=3x5, 20=2x2x5………………

6) எந்த ஒரு இரட்டை படை எண்ணையும் இரு பகா எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக எழுத இயலும். 32=3+29, 50=7+43, …………………………..

பகா எண்களில் அழகு

31

331

3331

33331

333331

3333331

33333331

இந்த எண்கள் 18ம் நூற்றாண்டு வரை நிரூபணம் ஆன பகா எண்கள். ஆனால் அடுத்த எண் 333333331 பகா எண் அல்ல. காரணம் 17 x 19607843 = 333333331.

பகா எண்களின் பயன்பாடு

பகா எண்கள் இன்று நம்மைக் காக்கும் பாதுகாவலராக விளங்குகின்றன. வங்கிகளில் நடைபெறும் பணப்பரிவர்த்தனை, பங்கு சந்தை, ATM மையங்கள் எனப் பல இடங்களில் சங்கேதக் குறியீடுகள் (passwords) அத்தியாவசியமாக உள்ளன.

இந்தச் சங்கேதக் குறியீடுகளை மற்றவர்கள் உடைத்துக் கண்டுபிடிப்பதைத் தவிர்க்க இரு பகா எண்களின் பெருக்குத் தொகையை கொண்டு அமைக்கிறார்கள். இவ்வாறு அமைக்கப்படும் சங்கேதக் குறியீடுகளில் உள்ள இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையைப் பொருத்து அதைக் கண்டுபிடிக்கச் சில நூறு ஆண்டுகள் முதல் ஆயிரம் ஆண்டுகள் வரை ஆகலாம் எனவும் கூறப்படுகிறது.

இந்தப் பகா எண்கள் குறித்து இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முற்பட்ட கணித மேதை யூக்ளிட், அதன் பின்னர் வந்த ஆய்லர், கோல்ட்பெக் முதல் தமிழகக் கணித மேதை இராமானுஜர் வரை பலர் பல உண்மைகளையும், தேற்றங்களையும் வழங்கியிருந்தாலும். பகா எண்கள் என்பது கணித அறிஞர்களுக்கு இன்னமும் ஆழ்கடல் ஆய்வாகத்தான் உள்ளது.

S.ஸ்ரீதர், ஆசிரியர் பயிற்றுநர்,

ssadcsri@gmail.com