கணிதக் கதைகள்: கூடி வாழ்ந்தால் நன்மை பயக்கும் எண்கள்

சிறு வயதிலிருந்தே ராமு, பிரபு, இம்ரான், டேவிட் ஆகிய நால்வரும் தங்களுக்குள் எவ்வித வேறுபாடில்லாமல் ஒற்றுமையாகச் சேர்ந்தே வளர்ந்தார்கள். படித்து முடித்ததும் எதேச்சையாக நால்வருக்கும் ஒரே நிறுவனத்தில் வேலை கிடைத்தது. சில ஆண்டுகளில் பிரபு தனது கடின உழைப்பால் மற்ற மூவரைவிடப் பதவி உயர்வு பெற்று அதே நிறுவனத்தில் மேலாளராக ஆனார். தன் பதவிக்கு ஏற்ற இடத்தில் இருப்பதுதான் மரியாதை என நினைத்து ஒரு பிரம்மாண்டமான வீட்டை வாங்கிக் குடியேறினார். நண்பர்களை விட்டு விலகிச் சென்றார். இதனால் மற்ற மூவரும் மிகுந்த மன வேதனையடைந்தனர்.

சில மாதங்கள் உருண்டோடின. உலகச் சந்தையின் எதிர்பாராத பண வீழ்ச்சியால் நிறுவனத்தின் லாபம் கணிசமாகக் குறைந்தது. அதன் விளைவாக அதிக வருமானத்துடன் அண்மையில் பதவி உயர்வு பெற்ற ஐம்பது மேலாளர்களை வேலையிலிருந்து நீக்கியது நிறுவனம். இதில் பிரபுவும் ஒருவர். திடீரென வேலையை இழந்த பிரபு, தான் வாங்கிய விலை உயர்ந்த குடியிருப்பின் மாதத் தவணைக் கட்டணத் தொகையைக் கூட செலுத்த முடியாமல் தவித்தார். பிரபுவின் நிலைமையை அறிந்த ராமு, இம்ரான், டேவிட் ஆகியோர் நண்பனைத் தேடி ஓடினார்கள்.

நட்பை நிரூபிக்க வாய்ப்பு

பிரபு மூவரையும் கண்டு வெட்கித் தலை குனிந்தார். “உங்கள் அன்புக்கு நான் தகுதியில்லாதவன்” எனக் கூறி அவர்களிடம் பேச முடியாமல் பிரபு தவித்ததை அறிந்த டேவிட், “சிறு வயது முதலே எதையும் ஒன்றாகச் செய்த நமக்கு இது ஒரு பெரிய சவாலாக இருக்காது, உன் நிம்மதிதான் எங்களுக்கு முக்கியம்” எனச் சொல்லி பிரபுவின் மனதை லேசாக உணர வைத்தார்.

“திடீரென வந்த புது நிலையின் மயக்கத்தில் உங்களைப் பிரிந்து தனி மாளிகை ஒன்றை என் அதிகச் சம்பளத்தை முன்னிட்டு வாங்கினேன். அதன் மொத்த மதிப்பு ரூ.58,45,140. மாதத் தவணைப் பணமாக மொத்தம் ரூ. 12,64,460 இதுவரை செலுத்தியிருக்கிறேன். மீதமுள்ள ரூ. 45,80,680 தொகையை எப்படிக் கட்டுவது என்பது தெரியாமல் தவிக்கிறேன்” என்றார் பிரபு.

நட்பை நிரூபிக்க இது ஒரு வாய்ப்பு என்றனர் நண்பர்கள். அதேபோல், ஒரு வாரத்துக்குப் பிறகு, ராமு, இம்ரான் மற்றும் டேவிட் ஆகியோர் முறையே ரூ.15,47,860, ரூ.17,27,636, ரூ.13,05,184 தொகையைப் பிரபுவிடம் கொடுத்தனர். “இதைச் சேர்த்தால் நீ சொன்ன மொத்தத் தொகை (15,47,860 + 17,27,636 + 13,05,184 = 45,80,680) கிடைத்துவிடும் எனத் தெரிவித்து, உடனடியாக இதைச் செலுத்தி உன் வீட்டை மீட்டெடு” என்றனர்.

சமூக நட்பிலக்கண எண்கள்

பிரபு தனது கடனைச் செலுத்தி வீட்டை மீட்டார். அதே தருணத்தில் பிரபுவுக்கு வேறொரு நிறுவனத்தில் ஒரு சிறு வேலையை ராமு ஏற்பாடு செய்தார். அதை மனநிறைவோடு ஏற்றுக்கொண்ட பிரபு, அந்தஸ்தைவிட எவ்விதமான மனிதர்களுடன் பழகுகிறோம் என்பதுதான் வாழ்வில் மிகவும் முக்கியம் என்ற உண்மையை உணர்ந்தார். அதே வேளையில் பிரபுவின் மனதை ஒரு கேள்வி குடைந்தது. “மீதமுள்ள மொத்தத் தவணைத் தொகையான ரூ.45,80,680 பணத்தை நீங்கள் ஏன் ரூ.15,47,860, ரூ.17,27,636, ரூ.13,05,184 எனக் குறிப்பிட்ட விதத்தில் பிரித்து வழங்கினீர்கள்?” என நண்பர்களிடம் கேட்டார்.

கணிதத்தில் சிறந்து விளங்கிய ராமு அதை விளக்கினார். “எங்களைச் சந்திக்கும் முன் நீ செலுத்திய 12,64,460 ரூபாய் தொகையை முன்னிட்டே இப்படிப் பிரித்து வழங்கத் திட்டமிட்டேன். 12,64,460 என்ற எண்ணின் வகுத்திகளில் (factors) 12,64,460 என்ற வகுத்தியை மட்டும் தவிர்த்துவிட்டு மற்ற வகுத்திகளைக் கூட்டினால் கிடைப்பது 15,47,860 என்ற எண். (1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3,719 + 7,438 + 14,876 + 18,595 + 37,190 + 63,223 + 74,380 + 1,26,446 + 2,52,892 + 3,16,115 + 6,32,230 = 15,47,860). அதேபோல் 15,47,860 என்ற எண்ணின் வகுத்திகளில் 15,47,860-ஐத் தவிர்த்துக் கூட்டினால் 17,27,636 கிடைக்கும். 17,27,636 என்ற எண்ணின் வகுத்திகளில் 17,27,636-ஐத் தவிர்த்துவிட்டு மற்றவற்றைக் கூட்டினால் 13,05,184 கிடைக்கும்.

இப்போது 13,05,184 என்ற எண்ணின் வகுத்திகளில் 13,05,184-ஐத் தவிர்த்து மற்றவற்றைக் கூட்டினால் மீண்டும் நீ முன்பு செலுத்திய தொகையைக் குறிக்கும் எண்ணிக்கையான 12,64,460 கிடைத்துவிடும். நாம் கட்டும் தொகையில் ஒருவரிலிருந்து மற்றொருவர் வேறுபடாமல் ஒரு தொகையிலிருந்து மற்ற தொகையைப் பெறும் விதத்தைக் குறிக்கவே நான் மேற்கண்ட தொகைகளைத் தேர்ந்தெடுத்தேன். இவ்வெண்களைக் கணிதத்தில் சமூக நட்பிலக்கண எண்கள் (Sociable Numbers) என அழைக்கிறோம்” என அருமையாக விளக்கினார் ராமு.

நான்கு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களில் ஒன்றிலிருந்து மற்ற எண்களை மேற்கண்டவாறு பெறுவதன்மூலம் அவ்வெண்கள் ஒன்றையொன்று விட்டுக்கொடுக்காமல் மீண்டும் அதே அமைப்பைப் பெறலாம். அதேபோல ஒர் சமூகத்தில் ஒற்றுமையாக வாழ வேண்டும் என்றால் ஒருவரை ஒருவர் புரிந்துகொண்டு வாழ வேண்டும் என்ற உண்மையை இது பிரதிபலிக்கிறது என ராமு தனது விளக்கத்தைக் கூறி முடித்தார். நட்பின் நுட்பத்தை வெளிப்படுத்தும் இந்த நான்கு எண்கள் தன் வாழ்வில் இருந்த பிரச்சினைக்குத் தீர்வு காண உதவியதைக் கண்டு பூரித்தார் பிரபு. இம்ரானும் டேவிடும் ராமுவின் கைகளைக் குலுக்கித் தங்கள் மகிழ்ச்சியை வெளிப்படுத்தினார்கள்.

கட்டுரையாளர் : கணிதப் பேராசிரியர், நிறுவனர், பை கணித மன்றம்.
தொடர்புக்கு: piemathematicians@yahoo.com