விருந்துக்கு எவ்வளவு பேரை அழைக்கலாம்?

நீங்கள் ஒரு விருந்துக் கூட்டம் நடத்த முடிவு செய்துள்ளீர்கள் எனக் கொள்வோம். அதில் கலந்துகொள்பவர்களில் ஏதேனும் மூவர் ஒருவரை ஒருவர் நன்கு அறிந்தவர்களாகவோ அறியாதவர்களாகவோ இருக்க வேண்டும் என்ற நிபந்தனையை நீங்கள் கருதிக் கொண்டால் குறைந்தபட்சம் எத்தனை பேர் அதில் கலந்துகொள்ள வேண்டும்? இதற்கான விடையை அறிய கணிதம் உதவுகிறது.

புதிரின் நிபந்தனை அடிப்படையில் குறைந்தபட்சம் மூன்று பேர் விருந்தில் பங்கேற்க வேண்டும் என்பது தெளிவாகிறது. ஆனால் மூன்று நபர் கொண்ட விருந்துக் கூட்டம், கொடுத்த நிபந்தனையைப் பூர்த்தி செய்யுமா? என்பதைக் காண்போம்.

நாம் முதலில் ஒருவரை மற்றொருவர் அறிந்திருந்தால் அதை நீல நிறக் கோட்டின் மூலமும், அறியாமல் போனால் சிவப்பு நிறக் கோட்டின் மூலமும் இணைப்பதாகக் கருதுவோம். உதாரணமாக A என்ற நபர் B என்ற நபரை அறிந்தால் அதைக் கீழ்க்காணுமாறு குறிப்பிடுவோம்.

அதேபோல் A என்ற நபர் B என்ற நபரை அறிந்திராமல் போனால் அதைக் கீழ்க்காணுமாறு குறிப்பிடலாம்.

நம் புதிருக்கான விடையைக் காண நம் கருதுகோளின்படி நமக்கு நீல நிறக் கோட்டின் முக்கோணமோ (மூவரில் ஒருவரை மற்றொருவர் அறிதல்) அல்லது சிவப்பு நிறக் கோட்டின் முக்கோணமோ (மூவரில் எந்நபரும் மற்றவரை அறியாமல் இருத்தல்) அமையப்பெற வேண்டும்.

நாம் இப்போது மூன்று நபர்கள் கொண்ட விருந்துக் கூட்டம், கொடுத்த நிபந்தனையைப் பூர்த்தி செய்யுமா என்பதை ஆய்வு செய்வோம். மூன்று நபர்களை A,B,C என்று கருதிக்கொள்வோம். A,B,C ஆகிய நபர்களில் ஒருவரை மற்றொருவர் அறிந்திருந்தால் ஒரு நீல நிற முக்கோணம் கிடைக்கும். அதேபோல், எவரும் மற்றொருவரை அறிந்திருக்கவில்லை என்றால் ஒரு சிவப்பு நிற முக்கோணம் கிடைக்கும். ஆனால் A என்ற நபர் B என்ற நபரை அறிவார், C என்ற நபர் A மற்றும் B ஆகிய இருவரையும் அறியவில்லை என்ற சூழ்நிலை ஏற்பட்டால் கீழ்க்காணும் வரைபடத்தைப் பெறலாம்.

இவ்வரைபடத்தில் நீல நிற முக்கோணமோ அல்லது சிவப்பு நிற முக்கோணமோ அமையவில்லை. எனவே நம் நிபந்தனையைப் பூர்த்தி செய்யக் குறைந்தபட்சமாக மூவர் போதாது என்பதை இதிலிருந்து அறியலாம். அப்படியென்றால் நால்வர் நமது நிபந்தனையைப் பூர்த்தி செய்வார்களா?

இதை அறிய நாம் அந்நால்வரை A,B,C,D என்று கருதிக்கொள்வோம். இதில் A ஐ B அறிவார், B ஐ C அறிவார், C ஐ D அறிவார், D ஐ A அறிவார், ஆனால் A என்ற நபர் C என்ற நபரையும், B என்ற நபர் D என்ற நபரையும் அறியவில்லை என்ற சூழ்நிலையைக் கருதிக்கொண்டால் கீழ்க்காணும் வரைபடத்தைப் பெறலாம்.

இப்படத்தில் நீல நிற முக்கோணமோ அல்லது சிவப்பு நிற முக்கோணமோ அமையவில்லை. ஆகையால் நான்கு நபர்களும் போதாது என்று அறிகிறோம். குறைந்தபட்சம் ஐந்து பேர் போதுமா? என்பதை அடுத்து ஆராய்வோம்.

ஐவரை A,B,C,D.E எனக் கருதிக் கொள்வோம். இதில் நீல நிற முக்கோணமோ அல்லது சிவப்பு நிற முக்கோணமோ அமையாமல் பெறும் அமைப்பைக் கீழ்க்காணும் வரைபடம் மூலம் அறியலாம்.

எனவே நம் விருந்துக் கூட்டத்தில் கொடுத்த நிபந்தனைகேற்ப குறைந்தபட்சம் ஐந்து நபர்களும் போதாது என்று அறிகிறோம். அவ்வாறெனில் குறைந்தபட்சம் ஆறு பேர் போதுமா? எவ்வளவு முறை இந்த ஆய்வை மேற்கொள்ள

வேண்டும்? களைப்பாகிவிட்டதா? காத்திருங்கள்! நாம் விடையை நெருங்கிவிட்டோம்.

நாம் இப்போது ஆறு பேரைக் கொண்ட விருந்துக் கூட்டத்தை ஆய்வு செய்வோம். அந்நபர்களை A,B,C,D.E,F என்று கருதிக்கொண்டால், நீங்கள் எப்படி முயன்றாலும் மொத்தமுள்ள பதினைந்து கோடுகளில் ஏதேனும் மூன்று நீல நிறக் கோடுகள் கொண்ட முக்கோணமோ அல்லது மூன்று சிவப்பு நிறம் கொண்ட முக்கோணமோ கிடைக்கப் பெறும் என்பதை நீங்கள் உணரலாம். இதைக் கீழ்க்காணும் படத்தின் மூலம் தெரிந்துகொள்ளலாம். (நீங்கள் பயிற்சியாக எடுத்துச் செய்து பாருங்கள், உங்களுக்கு நன்கு விளங்கும்).

நமது இலக்கை அடைந்து விட்டோம். எனவே எந்த ஒரு விருந்துக் கூட்டத்திலும் பங்கேற்கும் மூன்று நபரிலும் ஒருவரை ஒருவர் அறிந்தவராகவோ அல்லது

எந்நபரும் மற்றவரை அறிந்திராமல் இருப்பதற்குக் குறைந்தபட்சம் ஆறு பேர் தேவை என்ற உண்மையை நாம் கணிதத்தின் துணை கொண்டு அறிந்தோம்.

விருந்துக் கூட்டத்தின் எண்ணிக்கையைக் கணிதம் மூலம் கண்டோம். இதேபோல் பெரும்பாண்மையான வாழ்வியல் புதிர்களுக்குக் கணிதத்தின் துணை கொண்டு விடையை அறியலாம் என்பதுதான் கணிதத்தின் தன்மை.

இப்புதிரில் ஆய்வின் தன்மையைப் புரிந்துகொள்ளலாம். மூன்று, நான்கு, ஐந்து நபர்களுக்குச் சரிவராத விடை ஆறு நபர்களுக்குப் பூர்த்தியானதை ஒவ்வொரு நிலைப்படியாக ஆராய்ந்து காண்பதே ஆய்வின் அடித்தளமாகும். ஒவ்வொரு நிலையாக ஆராய்ந்து அடுத்த நிலையில் சிந்திப்பதே ஆய்வின் வெற்றிக்கு அடிப்படையாக அமையும். இப்பண்பை மேற்கண்ட புதிர் மூலம் உணரலாம்.

தொடர்புக்கு: piemathematicians@yahoo.com