கதையில் கலந்த கணிதம்: சதுரங்கம் குவித்த கோதுமை

சதுரங்கம் என்றால் நான்கு பிரிவுகள் என அர்த்தம். தரைப் படை, குதிரைப் படை, யானைப் படை, தேர்ப் படை எனும் ராணுவப்பிரிவுகளை அது குறிப்பிடுகிறது. குப்தப் பேரரசு காலத்தில்தான் ‘சதுரங்கம்’ விளையாட்டு உருவானதாக வரலாற்று ஆய்வாளர்கள் கருதுகின்றனர்.

கி.பி. 6- ம் நூற்றாண்டில் இந்தியாவில் ‘அஷ்டபாதா’ எனவும் ‘சதுரங்கா’ எனவும் இது அழைக்கப்பட்டது. அஷ்டபாதா என்ற வார்த்தைக்கு ‘எட்டுக்கு எட்டு கட்டங்களைக் கொண்ட சதுரப் பலகை’ என அர்த்தம். அஷ்டபாதா எனும் வார்த்தைக்கான அர்த்தத்தை கி. பி. 2-ம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த பதஞ்சலி முனிவர் தனது ‘மகாபாஷ்யா’ எனும் புத்தகத்தில் வழங்கியுள்ளார்.

மன்னர்களின் புத்தகம் (The Book of Kings) என்ற நூலில் சதுரங்கம் பற்றிய ஒரு கதை உள்ளது.

கி. பி. 6- ம் நூற்றாண்டில் ஒரு இந்திய அரசர் சவாலான ஒரு விளையாட்டைக் கண்டுபிடிப்பவருக்குப் பரிசளிப்பதாக அறிவித்தார்.

மன்னர் எதிர்பார்த்த விளையாட்டை, தான் கண்டறிந்துள்ளதாக சிசா இபின் தாகிர் என்பவர் கூறினார். அதன் விதிமுறைகளையும் கூறினார். அதுவே ‘சதுரங்கா’ விளையாட்டு. சதுரங்க விளையாட்டின் முன்னோடியாக இது கருதப்படுகிறது. சதுரங்காவுக்கும், இன்றைய சதுரங்கம் விளையாட்டுக்கும் சிறிதளவு மாற்றங்களே உள்ளன.

ராஜாவைக் காப்பதற்கு அணிவகுத்து நிற்கும் சிப்பாய் படைகளும், ராணுவத்தின் நால்வகைப் படைகளும் கொண்ட சதுரங்கா விளையாட்டின் விதிமுறைகள் மன்னரை வெகுவாக கவர்ந்தன. போர்ச் சூழலும், தர்க்க சிந்தனையும், விரைவாக முடிவெடுக்கும் ஆற்றலும் கொண்ட அற்புத விளையாட்டாக சதுரங்கா அமைந்ததைக் கண்டார் மன்னர். மகிழ்வடைந்தார். சிசாவை பாராட்டினார். பொன்னும் பொருளும் பரிசுகளும் வழங்குவதாகக் கூறினார். சிசா தனக்கு இவை எதுவும் வேண்டாம் என்றார். தான் விரும்புவதைத் தந்தாலே போதும் என்றும் சொன்னார்.

பொன், பொருள், பரிசுப் பொருட்கள் தவிர ஒரு மனிதனுக்கு இவ்வுலகில் என்ன தேவைப்படும் என மன்னர் வியந்தார். தான் விரும்புவதையே வழங்குமாறு மீண்டும் பணிவுடன் சிசா கேட்டார். அவரது கோரிக்கையை மன்னர் ஏற்றார். அவரிடம் சிசா கீழ்க்கண்டவாறு தெரிவித்தார்.

“சதுரங்கா விளையாட்டில் மொத்தம் 64 சதுரங்கள் உள்ளன. இதில் முதல் சதுரத்தில் ஒரு கோதுமையும், இரண்டாம் சதுரத்தில் இரண்டு கோதுமைகளும், மூன்றாம் சதுரத்தில் நான்கு கோதுமைகளும், நான்காம் சதுரத்தில் எட்டு கோதுமைகளும் என்ற முறையில், ஒவ்வொரு சதுரத்திலும் அதற்கு முன் அமைந்த சதுரத்தில் இருந்த தானியங்களின் அளவைப் போல இரு மடங்கு தானியங்களை வைத்து இறுதிச் சதுரம் வரை நிரப்பி அவ்வாறு வரும் மொத்த கோதுமைகளையும் எனக்கு வழங்குங்கள்” என சிசா தனது தேவையைக் கூறினார்.

இவ்வளவுதான் உங்கள் தேவையா? என்ற மன்னர் சிசா கோரிய அளவுக்கு கோதுமை தானியங்களை வழங்குமாறு கட்டளையிட்டார்.

ஒரு வாரம் ஆகியும் சிசா கேட்ட கோதுமைகளை அதிகாரிகளால் வழங்க முடியவில்லை. இதையறிந்த மன்னர் மிகவும் வேதனைப்பட்டார். “அரிய விளையாட்டைக் கண்டுபிடித்து என்னை மகிழ்ச்சியில் ஆழ்த்திய அறிஞருக்கு அவரது எளிமையான தேவையைக் கூட பூர்த்தி செய்ய முடியவில்லையே, ஏன்?” என்று அதிகாரியிடம் மன்னர் கேட்டார்.

அதற்கு அந்த அதிகாரி “நாம் சிசா கேட்ட கோதுமை தானியங்களின் அளவைச் சரியாகப் புரிந்துகொள்ளாமல் ஒப்புக்கொண்டுவிட்டோம். ஆனால், அவர் கேட்ட எண்ணிக்கையிலான கோதுமைகளை நம்மால் கொடுக்கவே முடியாது என்பதுதான் உண்மை” என அதிகாரி கூறினார். இதைக் கேட்ட மன்னர் திடுக்கிட்டார். 64 சதுரங்களில் அமையும் கோதுமைகளைக் கூட நம்மால் வழங்க முடியாதா? என்னால் நம்ப முடியவில்லை. என்ன காரணம் என்று தெளிவாகக் கூறுங்கள் என கேட்டார்.

சிசா கேட்டவாறு தானியங்களின் அளவைக் கணக்கிட்டதில் ஒவ்வொரு சதுரத்திலும் 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, . . . , என்ற வரிசையில் கோதுமைகளின் எண்ணிக்கை அமைய வேண்டும். இதில் காணும் எண்ணிக்கை இரண்டின் தொடர்ச்சிப் படிகளாக உள்ளது. இந்த எண்களைக் கொண்ட வரிசை, கணிதத்தில் பெருக்குத் தொடர் வரிசை (Geometric Progression) எனப்படுகிறது. இந்த கணிதமுறையில் ஒவ்வொரு எண்ணும் முந்தைய எண்ணை விட இரு மடங்கு ஆகிறது. இதனால் எண்ணிக்கையின் அளவு மிக அதிகமாகிக்கொண்டே செல்கிறது. அவ்வாறு கணக்கிட்டதில் 30-வது சதுரத்தை அடையும்போதே நம் உணவுப் பொருள் கிடங்கில் உள்ள மொத்த கோதுமையின் அளவைவிட அதிகமாகிவிட்டது. இறுதிச் சதுரத்தில் அமையப் பெற்ற தானியங்களின் அளவு 263 = 92,233,72,03,685,47,75,808 ஆக அமைகிறது. மேலும் சிசா கோரிய மொத்த தானியங்களின் அளவு 1+2+22+23+…+263 = 264 - 1 = 1,84,467,44,07,370,95,51,615 ஆக அமைகிறது. இந்த அளவு எண்ணிக்கையுள்ள கோதுமைகள் நம் பூமியை நிரப்பக்கூடியவை என்றார்.

இதை அறிந்த மன்னர் மலைத்து விட்டார். சிசாவை அழைத்தார். “ நீங்கள் கண்டுபிடித்த விளையாட்டை விட நீங்கள் கேட்ட பரிசு மிகச் சிறப்பாக இருக்கிறது. இப்படிப்பட்ட சிந்தனையை ஒரு தலை சிறந்த மேதையால்தான் வழங்க முடியும். எதை வேண்டுமென்றாலும் பரிசாக வழங்கி விட முடியும் என்ற எனது நம்பிக்கையைத் தகர்த்துவிட்டீர்கள். உங்களைப் போன்ற மேதைகளுக்குப் பரிசோ பொருளோ ஈடாகாது. நீங்கள் என் அரசவையில் பிரதான ஆலோசகராக இருந்து எங்களை வழி நடத்துங்கள்” எனக் கூறி அவரை வணங்கினார்.

கணித அறிவால் உயர்ந்த சிசா, மன்னரின் முதன்மை ஆலோசகராக விளங்கி நாடு நலம் பெறப் பேருதவி புரிந்தார்.

தொடர்புக்கு: piemathematicians@yahoo.com