கணிதக் கதைகள்: நட்புன்னா இப்படி இருக்கணும்!

அறிவியலின் ஆற்றலை அறிய நமக்கு உறுதுணையாக அமைவது எண்களாகும். எண்களைப் பற்றிய சிந்தனைகள் நெடுங்காலமாக இந்தியாவில் தோன்றியுள்ளன. இன்றளவும் எண்களின் பண்புகளை விளக்குவதில் இந்தியர்கள் மிகவும் சிறந்து விளங்குவதை காண்கிறோம். உலகைத் தன்வசப்படுத்திய எண்களின் வெவ்வேறு பண்புகளையும் பரிமாணங்களையும் அறிய முற்படுவோம்.

இரு நபர்களில் ஒருவரை ஒருவர் நன்கு புரிந்துகொண்டால் அவர்களை சிறந்த நண்பர்கள் என அழைப்போம். இவ்வாறு இருவரும் அதிக ஆண்டுகள் ஒருவருக்கொருவர் புரிந்துகொண்டு வாழ்ந்தால் அவர்களை நட்புக்கு இலக்கணமானவர்கள் என இவ்வுலகம் போற்றும். மனித உறவுகளில் மட்டும்தான் நட்பைக் காண இயலுமா? சில எண்களிலும் இப்பண்பைக் காண முடியும் என்பது உங்களுக்கு ஆச்சரியமாக அமையும்.

எண்களின் தந்தை!

இதை விளக்குவதற்கு நாம் 2500 ஆண்டுகள் முன் வாழ்ந்த கிரேக்க அறிஞர் பைதாகரஸ் வாழ்வில் நிகழ்ந்ததாகக் கருதப்படும் நிகழ்வைக் காணலாம்.

எண்களைப் பற்றிய ஆராய்ச்சியில் ஓர் குழு அமைத்து மிகச் சிறப்பாக அதை விளக்கியவர் பைதாகரஸ். அக்காலத்தில் அறிவியல் ஆய்வுகள் மேற்கொள்பவர்களைக் கடவுளுக்கு எதிராகச் செயல்படுபவர்கள் எனக் கருதினார்கள். எனவே, பைதாகரஸ் அவரது சீடர்களுடன் இரவில் ரகசியமாக இந்த ஆய்வுகளை மேற்கொண்டார். எண்களில் பல புதிய சிந்தனைகளைத் தோற்றுவித்த இக்குழுவினரே உலகப் புகழ் பெற்ற பைதாகரஸ் தேற்றத்தையும் கண்டறிந்ததாக நம்பப்படுகிறது.

இன்று பைதாகரஸ் தேற்றம் இல்லையென்றால் உலகில் எந்தக் கட்டிடத்தையும் துல்லியமாகக் கட்ட இயலாது. பிரமிடு போன்ற பிரம்மாண்ட சின்னங்களில்கூட இந்தத் தேற்றம் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. இவ்வாறு பல முக்கியமான கண்டுபிடிப்புகளை நிகழ்த்திய பைதாகரஸ், அந்தக் காலத்தில் மிகப் பிரபலமான மேதையாக திகழ்ந்தார். எண்களின் தந்தையாகவும் இன்று அவர் கொண்டாடப்படுகிறார்.

ஆனால், பைதாகரஸ் யாருடனும் மிக நெருக்கமாகப் பழகியதில்லை. இதை அறிந்த ஒரு நபர் அவரிடம் “உங்களால் ஏன் மற்றவர்களுடன் சகஜமாகப் பழக முடியவில்லை?” என்று கேட்டார்.

நான் அவ்வாறு பழகத்தான் விரும்புகிறேன், ஆனால், நான் எதிர்பார்க்கும் நபரைக் காண இயலவில்லை என பைதாகரஸ் பதிலளித்தார். அவ்வாறென்றால் நீங்கள் எதிர்பார்க்கும் மனிதருக்கு என்ன தகுதிகள் தேவைபடுகின்றன? என அந்த நபர் கேட்டார்.

நட்புக்கு இலக்கணமான எண்கள்

“220, 284 ஆகிய இரு எண்களைப் போல, நானும் என் நண்பரும் விளங்க ஆசைப்படுகிறேன்” என பைதாகரஸ் கூறினார். “நீங்கள் கூறிய எண்களுக்கும், என் கேள்விக்கும் என்ன தொடர்புள்ளது?” என்று குழம்பிய நிலையில் அந்த நபர் கேட்டார்.

குழம்பியவரைத் தெளிவுபடுத்த விரும்பிய பைதாகரஸ், 220, 284 ஆகிய இரு எண்களின் வகுத்திகளை (Divisors) முதலில் கண்டறியும்படி கூறினார். சிறிது சிரமப்பட்டு அந்த நபர் இவ்விரு எண்களின் வகுத்திகளைப் பட்டியலிட்டார்.

220 → 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110,220

284 →1,2,4,71,142,284

இந்தப் பட்டியலில் 220, 284 ஆகிய இரு எண்களை நீக்கி, இவ்விரு எண்களின் வகுத்திகளின் கூடுதலைக் கண்டறியும் படி பைதாகரஸ் கூறினார். அதன்படியே செய்த நபர் சிறிது நேரத்தில் ஆச்சரியமடைந்தார். இதற்கு என்ன காரணமாய் இருக்க முடியும்? பைதாகரஸ் கூறியபடி கொடுத்த எண்களைத் தவிர்த்து மற்ற வகுத்திகளை கூட்டினால் கிடைப்பது,

220 → 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

284 →1+2+4+71+142=220

இதிலிருந்து 220 என்ற எண்ணிலிருந்து 284 என்ற எண் வெளிப்படுவதும், அதேபோல் 284 என்ற எண்ணிலிருந்து 220 என்ற எண் கிடைப்பதையும் உணர முடிகிறது. 220, 284 என்ற எண்களின் வகுத்திகளை, சம்பந்தப்பட்ட எண்களைத் தவிர்த்து, கூட்டினால் மற்றொரு எண் கிடைப்பதே அந்நபரின் வியப்புக்குக் காரணமாய் அமைந்தது. இவ்விரு எண்களில் எவ்வாறு ஒன்று மற்றொன்றை பிரதிபலிக்கிறதோ அதைப் போலவே நானும் என் நண்பரும் அமைய வேண்டும் என பைதாகரஸ் விளக்கினார்.

வியப்பின் விளிம்புக்கே சென்ற அந்நபர், இவரை ஏன் அனைவரும் “எண்களின் தந்தை” என போற்றுகின்றனர் என புரிந்துகொண்டார். எனவே ஒருவர், அவர் இல்லாத தருணத்தில்கூட மற்றொருவரை முழுமையாக வெளிப்படுத்தினால், அவ்விரு நபர்களும் நட்பின் இலக்கணமாக திகழ்வார்கள் என்பதே இந்நிகழ்வின் மூலம் பைதாகரஸ் புரிய வைக்கும் தத்துவமாகும்.

நட்பிலக்கண இணைகள்

நட்பின் பண்பை வெளிபடுத்தும் 220, 284 ஆகிய எண்களை நாம் ‘நட்பிலக்கண இணைகள்’ (Amicable Pairs) என அழைக்கலாம். இவ்விரு எண்கள் சிறிய அளவில் அமைந்த நட்பிலக்கண இணைகளாக அமைகின்றன. அதிவேகக் கணினியின் துணையுடன் இன்று நாம் கிட்டத்தட்ட 1.2 கோடி நட்பிலக்கண இணைகளை அறிவோம். பைதாகரஸ் கண்டறிந்த சிறிய நட்பிலக்கண இணைக்கு அடுத்த இணையான 1184, 1210 என்ற எண்களை நிக்காலோ பகணினி என்ற 15 வயது இத்தாலி மாணவர் 1866-ல் கண்டறிந்தார். இந்த நட்பிலக்கண இணையைப் பல கணித மேதைகள் தவறவிட்டது ஆச்சரியத்தை அளிக்கிறது. எனவே, இன்றும் மாணவர்கள் சரியான முறையில் சிந்தித்தால் பல கணித உண்மைகளைக் கண்டறிந்து உலகை பிரமிக்க வைக்கலாம் என இது உணர்த்துகிறது.

நட்பின் மகத்துவத்தை உணர்த்தும் இந்த எண்களைக் கண்டு மகிழாதவர் இருக்க முடியுமா?

கட்டுரையாளர் கணிதப் பேராசிரியர், நிறுவனர், பை கணித மன்றம். தொடர்புக்கு: piemathematicians@yahoo.com