ஒரே பிறந்த நாளை எத்தனை பேர் கொண்டாட முடியும்?

ஒரு ஆசிரியர் தனது மாணவர்களின் பெயர், வயது, பிறந்த தேதி, பெற்றோர் பெயர், முகவரி ஆகியவற்றை வருகைப் பதிவேட்டில் பதிந்து கொண்டிருந்தார். அப்போது தன் வகுப்பில் இரு மாணவர்களுக்கு ஒரே பிறந்த நாளும், மாதமும் (வருடம் வேறு, வேறு) இருப்பதைக் கண்டார்.

இரு மாணவர்கள் ஒரே நாளில் பிறந்த நாள் கொண்டாடுவதற்குக் குறைந்த பட்சம் எத்தனை மாணவர்கள் தனது வகுப்பில் இருக்க வேண்டும்? என யோசித்தார். அதேபோல் ஒரு விழாவில் குறைந்த பட்சம் எத்தனை நபர்கள் குழுமியிருந்தால் இரு வேறு நபர்களுக்கு ஒரே நாளில் பிறந்த நாள் கொண்டாடும் வாய்ப்பு அமையும்? எனவும் யோசித்தார்.

நாம் அவருக்கான பதிலைத் தேடுவோம். பிறந்த நாள் புதிர் நிகழ்தகவு (Probability) சிந்தனை என்ற கணிதமுறை மூலம் இதனை நாம் அறியலாம். கணிதத்தில் இப்புதிரைப் “பிறந்த நாள் புதிர்” என்பார்கள். ஒரு வருடத்துக்கு 365 நாட்கள். லீப் ஆண்டாக இருந்தால் 366 நாட்கள். 365 நபர்களில் ஒவ்வொருவரும் வெவ்வேறு தேதியில் பிறந்திருந்தாலும் கூட 366 வது நபர் தனக்கு முன்பிருந்த நபர்களில் ஏதேனும் ஒரு நபர் பிறந்த நாளில்தான் நிச்சயமாக பிறந்திருக்க வேண்டும்.

எனவே ஒரு இடத்தில் 366 நபர்கள் இருந்தால் குறைந்த பட்சம் இருவருக்கு ஒரே நாளில் பிறந்தநாள் அமையும். 366 நபர்கள் இருந்தால்தான் ஒரே நாளில் பிறந்த நாள் அமையுமா? அல்லது இந்த எண்ணிக்கையை குறைக்க வாய்ப்புள்ளதா? என ஆராய்வோம். ஒரு இடத்தில் குழுமியிருப் பவர்களில் இருவருக்கு ஒரே நாளில் பிறந்த நாள் அமைவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறிவோம்.

கொடுக்கப்பட்ட நபர்களில் இரு நபர்களுக்கு ஒரே நாளில் பிறந்த நாள் அமையாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்வு, ஒரே நாளில் குறைந்த பட்சம் இருவருக்கு பிறந்த நாள் அமைவதற்கான நிகழ்விற்கு நிரப்பு நிகழ்வாக (Complementary Event) அமையும். இப்போது நாம் இந்த நிரப்பு நிகழ்வான ஒரே நாளில் பிறந்த நாள் அமையாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறிவோம்.

ஓர் ஆண்டில் பிறக்கும் ஒவ்வொருவருக்கும் 365 நாட்களைக் கொண்ட வருடத்தில் ஏதேனும் ஒரு நாளில் பிறப்பதற்கு  என்ற சமவாய்ப்பான நிகழ்தகவைக் கருதிக்கொள்வோம். குழுமியிருக்கும் நபர்களில் ஒருவர் மட்டும் இருக்கும் தருணத்தில், அவர் வருடத்திலுள்ள 365 நாட்களில் எந்த நாளில் பிறந்தாலும் அவருடைய பிறந்த நாள் மற்ற நபர்களின் பிறந்த நாளுக்கு (மற்ற யாரும் இல்லாததால்) நிச்சயமாக சமமாக அமையாது.

எனவே அந்த ஒரு நபரைப் பொறுத்த வரை மற்ற நபர்களுடன் ஒரே பிறந்த நாள் அமையாமல் இருக்க தேவையான நிகழ்தகவு  ஆகும். இப்போது இரு நபர்கள் உள்ள நிலையில், இரண்டாம் நபர் முதல் நபர் பிறந்த நாளில் பிறந்தால் இருவருக்கும் ஒரே பிறந்த நாள் அமைந்துவிடும்.

எனவே இரண்டாம் நபர் முதல் நபரின் பிறந்த நாளுக்கு மாறுபட்டு பிறந்தால் தான் இருவருக்கும் வெவ்வேறு பிறந்தநாட்கள் அமையும். இதற்கு இரண்டாம் நபர் முதல் நபர் பிறந்த அந்த ஒரு நாளை தவிர்த்து மற்ற நாட்களில் ஏதேனும் ஒரு நாளில் பிறந்தால் போதும். ஆகையால் இரண்டாம் நபர் வேறொரு நாளில் பிறப்பதற்கான நிகழ்தகவு என அமையும்.

மேலும் இரு நபர்களின் பிறப்பும் ஒருவரை ஒருவர் (உறவு முறையில்) சார்ந்திராமல் இருப்பதால் இரு நபர்கள் கொண்ட குழுவில் ஒரே பிறந்த நாள் அமையாமல் போவதற்கான நிகழ்தகவ என அமையும். இதேபோல் மூன்று நபர்கள் உள்ள குழுவில் மூன்றாம் நபர் மற்ற இரு நபர்கள் பிறந்த இரு தினங்களில் பிறக்காமல் வேறொரு தினத்தில் பிறந்தால் தான் மூவருக்கும் ஒரே பிறந்த நாள் அமையாது.

எனவே இந்த மூன்றாம் நபர் மற்ற இருவரின் பிறந்த நாளிற்கு மாறுபட்டுப் பிறப்பதற்கான நிகழ்தகவு என அமையும். இம்மூவரின் பிறப்பும் ஒருவரை ஒருவர் சார்ந்திராமல் இருப்பதால் மூவர் உள்ள குழுவில் வெவ்வேறு பிறந்த நாட்கள் அமைவதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும். இதேபோல் நான்கு நபர் உள்ள குழுவில் ஒரே பிறந்த நாள் அமையாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும்.

இதே பண்பை 23 நபர்கள் கொண்ட குழுவிற்குக் கருதிக்கொண்டால், அந்த 23 நபர்களில் அனைவருக்கும் வெவ்வேறு பிறந்த நாட்கள் அமைவதற்கான நிகழ்தகவு  ஆகும். நாம் இப்போது மிக முக்கிய கருத்தைக் காண முற்படுவோம். 23 நபர்கள் கொண்ட குழுவில் குறைந்த பட்சம் இருவர் ஒரே நாளில் பிறப்பதற்கான நிகழ்வு அவர்கள் அனைவரும் வெவ்வேறு நாட்களில் பிறப்பதற்கான நிகழ்விற்கு நிரப்பு நிகழ்வாக அமைவதை நாம் காணலாம்.

எனவே 23 நபர்கள் கொண்ட குழுவில் குறைந்த பட்சம் இரு நபர்களுக்கு ஒரே பிறந்த நாள் அமைவதற்கான நிகழ்தகவு  ஆகும். இதிலிருந்து 23 நபர்கள் கொண்ட எந்தக் குழுவிலும் குறைந்தபட்சம் இரு நபர்களுக்கு ஒரே பிறந்த நாள் அமைவதற்கு 50.7297% (ஐம்பது சதவீதத்திற்கு மேல்) வாய்ப்பு அமைவதை உறுதி செய்து கொள்ளலாம்.

ஆனால் கிட்டத்தட்ட நூறு சதவீத வாய்ப்பிற்கு எத்தனை நபர்கள் குறைந்த பட்சம் தேவைப்படுவர்? என்ற கேள்விக்கும் நாம் விடைகாண முயல்வோம். மேற்கண்டவாறு n நபர்கள் கொண்ட குழுவில் குறைந்த பட்சம் இரு நபர்களுக்கு ஒரே பிறந்த நாள் அமைவதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும்.

இதில் n மதிப்பை 50, 60, 70, 100 என முறையே கருதிக்கொண்டால் கிடைக்கும் நிகழ்தகவு மதிப்புகள் மூலம் முறையே 97%, 99.4%, 99.9%, 99.99997%, குறைந்த பட்சம் இரு நபர்களுக்கு ஒரே பிறந்த நாள் அமைவதற்கான வாய்ப்புகளை நாம் பெறலாம். எனவே எழுபது நபர்கள் கொண்ட குழுவில் குறைந்த பட்சம் இரு நபர்கள் நிச்சயமாக ஒரே நாளில் பிறந்த நாள் கொண்டாடும் வாய்ப்பமைவதை நாம் கணிதத்தில் தோன்றும் நிகழ்தகவு சிந்தனை மூலம் உறுதி செய்து கொள்ளலாம்.

366 நபர்களுக்கு ஒரே நாளில் பிறந்த நாள் உறுதியாகக் கொண்டாடும் தன்மையை வெளிப்படையாக அறிந்த நாம், அந்த எண்ணிக்கை 70 ஆகக் குறைந்து காணப்படும் தன்மையை மேற்கண்ட கணித சிந்தனை உறுதி அளிக்கிறது. ஆனால் இச்சிந்தனைக்கு நமது கருதுகோள்கள் மிக முக்கியமான காரணிகளாக அமைகின்றன.

இச்சிந்தனை கணினிப் பொறியியலில் கொத்து கொத்தாக குமிந்திருக்கும் கோப்புகளில் ஒரே கோப்பு செய்தியை அறிவதற்கும், குழுகுறியீட்டு இயலிலும் (Cryptography) வெகுவாக பயன்படுத்தப்படுகிறது.

தொடர்புக்கு: piemathematicians@yahoo.co