கணிதத்தால் கண்ட தீர்வு

பள்ளி, கல்லூரிகள் கோடை விடுமுறைக்குப் பிறகு அண்மையில் திறக்கப்பட்டுள்ளன. கல்விக் கூடங்கள் திறக்கும் தறுவாயில் மாணவர்கள் சேர்க்கை, மாணவர்களைப் பேணிக் காத்தல், போக்குவரத்து ஏற்பாடு, ஆசிரியர்களின் நியமனம் போன்ற எண்ணற்ற தேவைகளுக்குச் சிந்தித்து முடிவெடுக்கும் கட்டாயம் பெரும்பாலும் ஒவ்வோர் ஆண்டும் நிகழ்கிறது.

அப்படிப்பட்ட ஒரு பிரச்சினையை ஒரு கல்வி நிறுவனம் எதிர்கொள்கிறது எனக் கருதிக்கொள்வோம். புகழ் பெற்ற ஒரு பள்ளி நாளடைவில் மேலும் இரு கிளைகளைச் சிறிது தொலைவில் அமைத்துக்கொள்கிறது எனக் கருதிக்கொள்வோம். அப்பள்ளிக்கு இப்போது மூன்று கிளைகள் அமைகின்றன. இம்மூன்று கிளைகளிலும் பயிலும் மாணவர்களைக் கவனத்துடன் பள்ளிக்குக் கொண்டுசேர்த்து, பள்ளி முடிந்ததும் மீண்டும் அவர்கள் இல்லத்திற்கு அனுப்பப் பேருந்துகளை ஏற்பாடு செய்ய அப்பள்ளிகளின் நிர்வாகம் முடிவெடுத்தது. கிட்டத்தட்ட பதினைந்து பேருந்துகள் இதற்காகத் தேவைப்படும் என அந்நிர்வாகம் அறிந்து கொண்டது.

பேருந்துகளை இயக்க அப்பள்ளிகளின் ஒரு குறிப்பிட்ட கிளையில் பேருந்து நிறுத்தம் ஏற்படுத்தலாம் என முதலில் நிர்வாகம் கருதியது. ஆனால் இந்த முடிவில் ஒரு சிக்கல் அமைவதை உணர்ந்தது. பேருந்துகள் நிறுத்தம் உள்ள கிளையில் இருந்து தொலைவில் அமைந்திருக்கும் மற்ற இரு கிளைகளுக்கு அப்பேருந்துகளை இயக்கி மாணவர்களை ஏற்றி, இறக்கிவிட்ட பின்பு மீண்டும் அதன் நிறுத்தத்திற்குக் கொண்டு வர நேரமும், பேருந்துகளுக்குத் தேவைப்படும் எரிபொருளும் அதிகமாகும். ஒரே நேரத்தில் அதன் நிறுத்தத்திலிருந்து பேருந்துகளை இயக்குவதால் போக்குவரத்து நெரிசல் அதிக அளவில் ஏற்பட வாய்ப்புள்ளது. இதனால் அப்பள்ளி வளாகத்திற்கு அருகில் அமைந்திருக்கும் அலுவலகங்களுக்கும், பொதுமக்களுக்கும் சிக்கல் ஏற்படும். எனவே அப்பள்ளிகளின் நிர்வாகம் சரியான பேருந்து நிறுத்த இடத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கத் திட்டமிட்டது. இந்தப் பிரச்சினையை அந்நிர்வாகம் எவ்வாறு சமாளிக்கும்?

நிர்வாகம் எதிர்கொண்ட இந்தப் பிரச்சினைக்கு அப்பள்ளியில் பணிபுரிந்த கணித ஆசிரியர் ஒருவர் தீர்வை வழங்க முற்பட்டார். அவர் வழங்கிய தீர்வை நாம் விளக்கமாகக் காண்போமா?

நிர்வாகத்தின் கீழ் இயங்கும் மூன்று பள்ளிகளை முதலில் மூன்று புள்ளிகளாகக் கருதிக் கொள்ளவேண்டும். மூன்று பள்ளிகளும் வெவ்வேறு இடங்களில் அமைவதால், அப்பள்ளிகளைக் குறிக்கும் புள்ளிகள் தளத்தில் ஒரே நேர்கோட்டில் அமையாது. எனவே அம்மூன்று புள்ளிகளும் தளத்தில் ஒரு முக்கோணத்தை ஏற்படுத்தும். நாம் அம்மூன்று புள்ளிகளை A, B, C என்று குறிப்பிட்டு அதன் மூலம் கிடைக்கும் முக்கோணத்தைப் படத்தில் காண்போம்.

படம் 1

மேற்கண்ட முக்கோணம் அமைந்த தளத்தில் நாம் ஒரு புள்ளியை A, B, C ஆகிய புள்ளிகளிலிருந்து சம தொலைவில் அமையுமாறு கண்டறிய வேண்டும். அப்புள்ளி அமையும் இடத்தில் பேருந்து நிறுத்தத்தை ஏற்படுத்தினால் மூன்று பள்ளிகளுக்கும் வெவ்வேறு திசையில் பேருந்துகள் சம தூரத்தில் சென்று மேற்கூறிய பிரச்சினைகளைப் பெருமளவில் குறைக்க இயலும். எனவே நம் பிரச்சினைக்கு A, B, C ஆகிய மூன்று புள்ளிகளுக்குச் சம தொலைவில் அமைந்த ஒரு புள்ளியைக் கண்டறிவதே சிறந்த தீர்வாகும். ஆனால் அப்புள்ளியை எவ்வாறு கண்டறிவது?

நாம் முதலில் ABC என்ற முக்கோணத்தில் ஒவ்வொரு பக்கத்திற்கும் செங்குத்து சமவெட்டியை (Perpendicular Bisectors) கருதிக்கொள்ள வேண்டும். இதன் மூலம் நமக்கு மூன்று செங்குத்து சமவெட்டிகள் கிடைக்கப்பெறும். இம்மூன்று செங்குத்து சமவெட்டிக் கோடுகளும் ஒரே புள்ளியில் சந்திக்கும். இதைப் படத்தின் மூலம் காணலாம்.

படம் 2

மேற்கண்ட சந்திப்புப் புள்ளியே நமக்குத் தேவையான புள்ளியாக அமையும். ஆனால் இதை எப்படி உறுதி செய்வது?

A, B, C ஆகிய புள்ளிகள் வழியே ஒரு வட்டம் வரைந்தால் (ஒரே நேர் கோட்டில் அமையாத மூன்று புள்ளிகள் மூலம் ஒரு வட்டம் வரையலாம்) அவ்வட்டத்தில் மேற்கண்ட மூன்று செங்குத்துச் சமவெட்டிகளும் மூன்று விட்டங்களாக அமைவதைப் படத்தில் காணலாம்.

படம் 3

எல்லா விட்டங்களும் வட்டத்தின் மையம் வழிதான் செல்லும். எனவே இந்த மையத்தை நாம் D என்று கருதிக்கொள்வோம். ஆனால் மூன்று செங்குத்துச் சமவெட்டிகளின் சந்திப்பு புள்ளிதான் D ஆகும். எனவே செங்குத்துச் சமவெட்டிகளின் சந்திப்புப் புள்ளிதான் A, B, C ஆகிய புள்ளிகள் வழியே செல்லும் வட்டத்தின் மையமாக விளங்குகிறது. ஆனால் வட்டத்தின் மையம் அதன் சுற்றுப்புறத்தில் அமையும் எல்லாப் புள்ளிகளிலிருந்தும் சமமான தூரத்தில் (வட்டத்தின் ஆரமாக விளங்குவதால்) அமையும். எனவே நமக்கு AD = BD = CD என கிடைக்கும். D என்ற புள்ளியை நாம் கணிதத்தில் ‘சுற்று வட்ட மையம்’ (Circumcentre) என்று அழைக்கிறோம். A, B, C வழியே செல்லும் வட்டத்தை நாம் ‘சுற்று வட்டம்’ (Circumcircle) என அழைக்கிறோம்.

எனவே நாம் மேலேகூறியவாறு செங்குத்துச் சமவெட்டிகளின் சந்திப்புப் புள்ளியான D என்ற புள்ளி A, B, C ஆகிய பள்ளிகளிலிருந்து சம தூரத்தில் அமையும் என்பது உறுதியாகிறது. ஆகையால் D அமைந்த இடத்தில் பேருந்து நிறுத்தத்தை ஏற்படுத்தினால் நமக்குத் தேவையான பலன் கிடைக்கும்.

பள்ளியின் போக்குவரத்துப் பிரச்சினையைக் கணிதத்தின் ஜியோமிதி மூலம் தீர்வு கண்டுள்ளார் அந்த ஆசிரியர். மேலும் இதுபோன்ற அநேக வாழ்வியல் பிரச்சினைகளுக்குக் கணிதம் தகுந்த முறையில் சிறந்த தீர்வளிக்கிறது.

தொடர்புக்கு: piemathematicians@yahoo.com